Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

       2. Si z₁ = (12x – 6) + 8i, z₂ = 18 + (5 – y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z₁ = z₂?

      Se debe cumplir Re(z₁) = Re(z₂) e Im(z₁) = Im(z₂), es decir:

      • 12x – 6 = 18 ⇒ x = 2

      • 8 = 5 – y ⇒ y = –3

      Remplazando estos valores se tiene: z₁ = z₂ = 18 + 8i.

       Actividades

       1. Escribe o , según corresponda.

       2. Determina la parte real y la parte imaginaria de cada número.

       3. Escribe cada número en la forma z = a + bi según las condiciones dadas.

       4. Escribe un número complejo que cumpla con la condición solicitada.

      a) La parte real sea el doble de la parte imaginaria.

      b) La parte imaginaria sea negativa y la parte real sea un número mayor que –5 y menor que cero.

      c) Su parte real sea cero y su parte imaginaria sea un número par primo.

      d) Su parte imaginaria sea cero y su parte real 7.

      e) La parte real sea menor que 3 y mayor que 1 y la parte imaginaria sea un número negativo.

      f) La parte real sea un múltiplo de 5 y la parte imaginaria sea divisor de 8.

       5. Resuelve.

      a) Si z = x + (16 + y)i, w = – 7yi, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?

      b) Si z₁ = (5a + 12) + 7i, z₂ = 17 – bi, ¿cuáles son los valores de a y b para que z₁ = z₂?

      c) Si z = (x + 2y) + (5 + 7y)i, w = – (5 – 12y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?

      d) Si z₁ = z₂ y z₁ = 3 – (5 + y)i, z₂ = (4 – 2x) + (7 – 5y)i, ¿cuáles son los valores de x e y?

      e) Si z = 3x + (5y – 4)i, w = 15 – 8yi, para que z = w, ¿cuánto es x + y?

       6. Determina los valores de p y q para que se cumpla cada igualdad.

4.3 Representación gráfica de números complejos

      En el plano cartesiano se utilizan los ejes X e Y, que representan los números reales. Es posible construir el plano complejo, que se conoce como plano de Argand, identificando el eje Y con las partes imaginarias (Im(z)) y el eje X con las partes reales (Re(z)). De esta manera, es posible representar un número complejo cualquiera como un punto en este plano identificando su parte real en el eje X, y su parte imaginaria en el eje Y.

      Un número complejo z se puede representar en:

      • Forma binomial: z = a + bi

      • Forma cartesiana: z = (a, b)

       Conjugado de un número complejo

      Se define el conjugado de un número complejo z = a + bi, como:

      De lo anterior se deduce lo siguiente.

      • El conjugado de un número cuya parte imaginaria es cero, es el mismo número.

      Si z = a ⇒ = a.

      • El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número complejo.

      • Un número complejo z y su conjugado se ubican en forma simétrica respecto al eje real del plano de Argand.

       Módulo de un número complejo

      En el plano de Argand, el número complejo z = a + bi o z = (a, b), se representa utilizando un vector desde el origen del plano hasta el punto z. La longitud del vector corresponde al módulo del número complejo, que se anota por |z| y se calcula por:

       Actividades resueltas

       1. En el plano de Argand se han representado los números complejos z₁, z₂, z₃ y z₄. ¿Cuál es su representación en forma binomial y cartesiana?

       2. Si z₁ = 3 – 5i, z₂ = –5 + 8i y z₃ = –1,5 – 7i, ¿cuáles son los conjugados?

       3. Representa en el plano el número complejo z = –3 + 2i, su conjugado y luego calcula su módulo.

      El conjugado del número complejo es , y su módulo es:

      Además se observa que .