Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

       1. Representa en el plano de Argand los siguientes números complejos.

      a) z₁ = 2

      b) z₂ = 3i

      c) z₃ = 4 – 4i

      d) z₄ = –3 – i

      e) z₅ = –4 + 5i

      f) z₆ = 3 + i

      g) z₇ = 5 – 2i

      h) z₈ = 7 – 5i

      i) z₉ = 6 – 4i

      j) z₁₀ = –5 – 2i

       2. Observa el plano de Argand, luego responde.

      a) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real e imaginaria mayor que cero.

      b) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria menor que cero.

      c) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real mayor que cero e imaginaria menor que cero.

      d) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria mayor que cero.

       3. Calcula el módulo de cada número complejo y su conjugado, luego represéntalo en el plano de Argand.

      a) z₁ = –2 – i

      b) z₂ = –4 + 2i

      c) z₃ = 1 + 4i

      d) z₄ = 2 – 2i

      e) z₅ = 4 + 2i

      f) z₆ = –i

      g) z₇ = –2 – 5i

      h) z₈ = 8 + 2i

      i) z₉ = 3 – 8i

      j) z₁₀ = –5 – 4i

       4. Determina el módulo y el conjugado de cada número complejo según corresponda.

4.4 Adición en

      Para resolver una adición entre dos o más números complejos se suman, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

       Actividades resueltas

      1. Si z₁ = –3 + 2i, z₂ = 5 – 6i, luego z₁ + z₂ = (–3 + 5) + (2 – 6)i = 2 – 4i.

      2. Si z₁ = –8 – 4i, z₂ = –12 – 8i, luego z₁ + z₂ = (–8 – 12) + (–4 – 8)i = –20 – 12i.

       Propiedades de la adición de números complejos

       En el conjunto se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

      Clausura: si z, w , entonces, z + w .

      Conmutativa: si z, w , entonces z + w = w + z.

      Neutro aditivo: existe un número complejo 0 tal que z + 0 = z.

      Inverso aditivo: existe –z tal que z + (–z) = 0.

      Asociativa: los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin alterar el resultado, es decir, (z + w) + u = z + (w + u).

       Al relacionar la adición con el conjugado de un número complejo se cumple que:

      Si z = a + bi, se tiene que z + = 2a, ya que z + = (a + a) + (b + (–b))i = 2a

      Si z = a + bi y w = c + di, se tiene que , ya que:

       Interpretación geométrica de la adición de números complejos

      Al representar gráficamente la adición entre dos números complejos, esta se puede relacionar con un paralelógramo. Donde cada sumando corresponderá a un lado y la suma a la diagonal.

      Si z₁, z₂ y z₃ , se tiene:

      • z₁ + z₂ = z₃

       Actividad resuelta

       Si (7 + 4i) + z = 2 + 7i, ¿cuál es el número complejo z?

      Si z = a + bi, se tiene (7 + 4i) + (a + bi) = 2 + 7i ⇒ (7 + a) + (4 + b)i = 2 + 7i

      Igualando las partes reales e imaginarias se obtiene lo siguiente:

      • Parte real: 7 + a = 2 ⇒ a = –5

      • Parte imaginaria: 4 + b = 7 ⇒ b = 3

      Por lo tanto, z = –5 + 3i.

       Actividades

       1. Si z₁ = 5 + 2i, z₂ = –7 – 8i, z₃ = –i, z₄ = 5 – 2i, calcula:

       2. Representa en un solo plano de Argand cada adición entre números complejos.

      a) z₁ = 3 – 2i, z₂ = 1 + 2i; A = z₁ + z₂

      b) z₃ = 7 + i, z₄