Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

Multiplicación en

      La multiplicación entre dos números complejos z = a + bi, w = c + di se define por:

       z • w = (a + bi) • (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

       Propiedades de la multiplicación en

       En se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

      Clausura: si z, w , entonces z • w .

      Conmutativa: si z, w , entonces z • w = w • z.

      Neutro multiplicativo: z • 1 = 1 • z, = z ∀ z .

      Inverso multiplicativo: si z = a + bi ≠ 0, existe i tal que z • z^–1 = 1 = 1 + 0i.

      Asociativa: si z, w, u , entonces (z • w) • u = z • (w • u).

      La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición o de la sustracción.

      ∀ z, w, u , entonces z • (w ± u) = z • w ± z • u.

       Al relacionar la multiplicación con el conjugado de un número complejo, se tiene que:

      • Si z = a + bi, entonces = |z|², ya que = (a + bi) • (a – bi)

      • Si z = a + bi y w = c + di, entonces

       Actividad resuelta

       Si z₁ = –3 – 5i, z₂ = 2 + 3i, verifica que se cumple la propiedad conmutativa.

       Actividades

       1. Si z₁ = 3 – 5i, z₂ = 4 – 2i, z₃ = 3 + 5i, z₄ = –6 – 8i calcula:

       2. Demuestra las siguientes propiedades. Considera z₁, z₂ .

       3. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:

       4. Calcula cada producto y luego represéntalo en el plano de Argand.

       5. Calcula el inverso multiplicativo de los siguientes números complejos.

4.7 División en

      Para resolver una división entre z₁ = a + bi, z₂ = c + di es posible amplificar por el conjugado del denominador y determinar el resultado:

      De manera equivalente:

       Actividades resueltas

       1. Si z₁ = –2 + 3i, z₂ = 1 + 2i, calcula z₁ : z₂.

       2. La impedancia es un fenómeno físico que se describe por medio de oscilaciones y es de gran importancia en ingeniería electrónica. La impedancia Z (en ohms) afecta la corriente en un circuito y se determina mediante la fórmula: . Determina la impedancia cuando V = 1,5 – 0,6i e I = –0,3i.

       Resolución:

      Respuesta: La impedancia es (2 + 5i) ohms.

       3. En la igualdad: z(–5 + 4i) = 4 – 4i, ¿cuál es el valor de z?

       Actividades

       1. Resuelve las siguientes divisiones.

      a) (3 – 2i) : (5 + 3i)

      b) 9i : (4 – i)

      c) (1 + i) : (–1 – i)

      d) (5 + 2i) : (7 + i)

      e) (12 – 2i) : 5i

      f) (2 – i) : 8i

      g) (4 – 2i) : (1 + 5i)

      h) (4 + 2i) : (1 – i)

      i) (5 – 5i) : (1 – i)

       2. Determina si cada igualdad es verdadera o falsa. Para ello, considera z₁ = 3 + 2i, z₂ = 2 – i.

       3. Determina el valor de z según corresponda.

      a)