Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

2. Si log_x 8 = 3, ¿cuál es el valor de x?

      Se sabe que log_x 8 = 3 ⇔ x = , luego x = 2.

       3. ¿Cuál es el valor de log 10.000?

      Considerando x = log 10.000 ⇔ 10^x = 10.000, se obtiene que x = 4, luego log 10.000 = 4.

       4. Si ln x = 0 y log y = 5, ¿cuál es el valor de x + y?

      De ln x = 0 se obtiene que e⁰ = x, luego 1 = x; además, de log y = 5 ⇔ 10⁵ = y, se obtiene que y = 100.000. Por lo tanto, x + y = 100.001.

       Actividades

       1. Calcula.

       2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

3.10 Propiedades de los logaritmos

      El logaritmo cumple las siguientes propiedades:

      • Logaritmo de la unidad. Si b – {1}, entonces:

       log_b 1 = 0

      • Logaritmo de un producto. Si a – {1}, b, c , entonces:

       log_a (b • c) = log_a b + log_a c

      • Logaritmo de una potencia. Si a – {1}, b entonces:

       log_a bⁿ = n • log_a b

      • Logaritmo de la base. Si b – {1}, entonces:

       log_b b = 1

      • Logaritmo de un cociente. Si a – {1}, b, c , entonces:

      • Cambio de base de un logaritmo. Si a, b, c – {1}, entonces:

       Actividades resueltas

       1. Calcula el valor de la expresión .

       2. Utilizando las propiedades estudiadas, calcula .

       Actividades

       1. Calcula el valor de cada expresión.

       2. Considerando log₃ 5 = 1,465, log₃ 7 = 1,771, log₆ 5 = 0,898 y log₆ 2 = 0,387, calcula los siguientes logaritmos.

       3. Reduce cada expresión. Para ello, aplica las propiedades del logaritmo.

       4. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.

       5. Resuelve.

      a) Si M • N³ • P = 625, ¿cuál es el valor de la expresión ?

      b) Si A = (log₂ 80 – log₂ 5) + (log₃ 135 – log₃ 5), ¿cuánto es A²?

      c) Calcula el valor de la expresión A = log₆ (log₃ (log₂ (log₂ 256))).

      d) ¿Cuál es el valor de la expresión

      e) Si F = 4 log₁₆ (log₈ ), ¿cuál es el valor de 3F?

      f) Se define B = log₃₀ 64 + log₃₀ 15³ – 3 log₃₀ 2. ¿Cuál es el valor de log₃ B²?

4. Números complejos ()

4.1 Números imaginarios II

      Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, a , no tienen solución en el conjunto numérico de los números reales porque el cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero. En particular en la ecuación x² + 1 = 0, si tuviese solución en el conjunto de los números reales, debiese existir un número real con la condición de que x² = –1. Para resolver el problema se define el número i (unidad imaginaria) como el número cuyo cuadrado es –1, es decir, i² = –1. Por lo tanto la ecuación x² + 1 = 0 tiene como soluciones x₁ = i, x₂ = –i.

      Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, con a , tienen dos raíces o soluciones imaginarias que son: