Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

z₁ = 2 – 2i, z₂ = 4 + i; D = z₁ + z₂

      e) z₃ = –3 + i, z₄ = 1 + i; E = z₃ + z₄

      f) z₅ = 1 – 2i, z₆ = 3i; F = z₅ + z₆

      g) z₁ = –2i, z₂ = –5 + i; G = z₁ + z₂

      h) z₃ = – i, z₄ = 2i; H = z₃ + z₄

      i) z₅ = 6 – i, z₆ = 3 + 3i; I = z₅ + z₆

      j) z₁ = 7 – 2i, z₄ = 5 – 5i; J = z₁ + z₄

       3. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa.

      a) El inverso aditivo de z = 1 + i es w = –1 + i.

      b) Siempre la suma de números complejos es un número real.

       4. Observa el plano de Argand y luego resuelve o responde según corresponda.

       5. Resuelve.

      a) Si (9 – 3i) + z = 15 + i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

      b) Si w + (–6 – 2i) = 17 + 3i, ¿cuál debe ser el conjugado de w?

      c) Si z = –6 + bi, w = c + 7i y además z + w = –9 – 15i, ¿cuáles son los valores de b y c?

4.5 Sustracción en

      Para resolver una sustracción entre dos o más números complejos se restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

      Si z, w , z = a + bi, w = c + di ⇒ z – w = (a – c) + (b – d)i

      Al relacionar la sustracción con el conjugado de un número complejo, se tiene lo siguiente:

      • Si z = a + bi, se tiene que z – = 2bi.

      z – = (a + bi) – (a – bi) = (a – a) + (b – –b)i = (b + b)i = 2bi

      • Considerando z , se cumplen las siguientes igualdades:

      • Si z = a + bi y w = c + di, se tiene

       Actividades resueltas

       1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?

      z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i

       2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

      Si z = a + bi, se tiene:

      (–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i

      Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:

      • Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1

      • Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0

      Por lo tanto, z = –1.

       Nota histórica

      Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).

       3. Si z₁ = 3 + 2i, z₂ = 2 – i, z₃ = 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z₃ – z₂ y z₃ – z₁.

      z₃ – z₂ = (5 + i) – (2 – i)

      = 3 + 2i

      = z₁

      z₃ – z₁ = (5 + i) – (3 + 2i)

      = 2 – i

      = z₂

       Actividades

       1. Si z₁ = 6 – 4i, z₂ = –4i, z₃ = –3 + 2i, z₄ = 6 + 4i, calcula.

       2. Si z₁ = 3 – 4i, z₂ = –5 – 2i, z₃ = –2 – 6i, z₄ = –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.

       3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

      a) La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.

      b) La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.

      c) El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.

       4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.

       5. Resuelve.

      a) Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

      b) Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?

      c) Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de a y b?

       6. Demuestra las siguientes igualdades.