Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

se tiene:

      Ahora, aproximando por exceso, se considera que .

      Luego, se tiene que:

      Se puede aplicar este proceso reiteradamente para obtener una mejor aproximación.

       Aproximación por acotación sucesiva

      Se acota el número irracional x, tanto inferior como superiormente, es decir, se determinan dos números racionales a y b tal que a < x < b, luego se calcula el promedio entre estos números y se prosigue tantas veces como sea necesario.

       Actividad resuelta

      Determina una aproximación .

      El proceso continúa tantas veces como se quira, según la aproximación conseguida.

       Orden en

       es un conjunto ordenado. Asi, para comparar numeros reales, y en particular numeros irracionales, se pueden representar como numeros decimales, para luego compararlos. Una manera alternativa si se consideran raices cuadradas, consiste en com-parar sus cuadrados, ya que para numeros mayores que 1, mientras mayor sea un numero, mayor es su expresion al cuadrado.

       Actividad resuelta

      Ordena de menor a mayor .

      Al elevarlas al cuadrado resulta: = 50, luego se tiene lo siguiente: .

       Actividades

       1. Aproxima por truncamiento y redondeo cada número.

      a) 3,14151617… a la centésima.

      b) 15,3698765… a la décima.

       2. Aproxima las siguientes raíces utilizando cada método según corresponda.

       3. Ordena de menor a mayor según corresponda.

3.8 Números irracionales en la recta numérica

      Para ubicar números irracionales en la recta numérica es necesario aproximarlos, ya que tienen infinitas cifras decimales. Por ejemplo, para π se puede considerar 3,1415 y se marca dicha aproximación con un punto en la recta. Sin embargo, para situar en la recta numérica la raíz cuadrada de un número natural, es posible utilizar algún procedimiento geométrico.

       Actividad resuelta

       Ubica el número en la recta numérica.

      Sobre el número 1 se traza un segmento AB perpendicular que mida 1 unidad, luego se forma un triángulo uniendo el número 0 con B. Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que la hipotenusa mide , luego con centro en 0 y radio igual a la hipotenusa se traza un arco de circunferencia que corta a la recta numérica en .

      Prosiguiendo de esta forma se pueden ubicar en la recta numérica , etc.

      Esta construcción geométrica que representa las raíces cuadradas de los números naturales se conoce como la espiral de Teodoro.

       Actividades

       1. Determina qué número se ha representado con una letra en la recta numérica.

       2. En cada recta numérica determina qué números representan las letras A, B y C.

3.9 Logaritmos

       El logaritmo de a en base b (log_b a) es el exponente de una potencia de base b cuyo valor es a, es decir, si a , b – {1} y x , se define lo siguiente:

       log_b a = x ⇔ b^x = a

      Para relacionar la potencia, el logaritmo y la raíz enésima, con n y a, b , b ≠ 1, se tiene lo siguiente:

       bⁿ = a ⇔ n = log_b a ⇔ b =

       Cuando la base del logaritmo es 10 log₁₀ a = log a.

       El logaritmo de base e se conoce como logaritmo natural. Así, log_e a = ln a.

       Actividades resueltas

       1. Calcula el valor de log₅ 125.

      Por definición se tiene que: log₅