Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

(2 + 2i)z = 5i

      c) 9 = z(7 + 2i)

      d) (1 – 2i)z = (3 + 2i)

      e) 7zi = (8 – i)

      f) i = (6 + 8i)z

      g) z(3 – i) = (1 + i)

      h) (4 – i) = (3 + 5i)z

      i) (3 + i)z = (6 + 3i)(–1 + i)

       4. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, considera z₁ = 4 + 2i, z₂ = –1 – i, z₃ = 2 – i,

       5. En el plano de Argand se han representado los números complejos z₁, z₂, z₃ y z₄. Considerando lo anterior, resuelve.

4.8 Potencias de números complejos

      Si z y n , la potencia zⁿ se define como la multiplicación de z por sí mismo n veces.

      Para exponentes negativos se tiene que z^–n = . Si n = 0, se define z⁰ = 1, para todo z ≠ 0.

      Se puede calcular la potencia de un número complejo utilizando las expresiones del cuadrado y del cubo de binomio y luego remplazar los valores de las potencias de i cuando corresponda.

      Para calcular potencias de mayor grado, se pueden combinar las propiedades de las potencias con cuadrados y cubos de un binomio.

       Actividad resuelta

       Calcula el valor de la potencia de cada número complejo.

       Actividades

       1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

4.9 Raíces cuadradas de números complejos

      Se define la raíz cuadrada de un número complejo z como un número complejo w, tal que w² = z, es decir, .

      Para determinar las raíces cuadradas de un número complejo z = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy)², con x e y números reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que x o y no fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.

       Actividades resueltas

       1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.

      Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w² = z. Es decir:

       2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?

      Se resuelve la ecuación (x + iy)² = 2i, luego se tiene:

       Actividades

       1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.

      a) z₁ = 4i

      b) z₂ = 3 – 4i

      c) z₃ = 15 + 8i

4.10 Números complejos en forma polar

      Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:

       Actividades resueltas

       1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.

      Para profundizar el estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría (pág. 326).

       2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z₂ representado en el plano de Argand?

       Actividades

       1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar

      Dado un número complejo z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)), se tiene que:

      • La potencia enésima es: zⁿ = |z|ⁿ (cos(n • θ) + i sen(n • θ)), n .

      • La raíz enésima es:

      Así, se obtienen n raíces, cuyos ángulos correspondientes tienen una diferencia igual a .

      Al representarlas en el plano de Argand, se obtienen n puntos sobre una circunferencia con centro en el origen y radio .

       Actividad resuelta

       Si la representación en forma polar del número z = –2 + 2i es z =