Wittgenstein. Federico Penelas

de leyes lógicas. Así fue como se consolidó el ideal logicista según el cual las leyes aritméticas son juicios analíticos y, por consiguiente, son a priori. La aritmética, por tanto, sería solamente una lógica más extensamente desarrollada.

El camino de Frege fue claro. En 1879, como vimos, produjo la invención de su conceptografía, que permitía una formalización adecuada a los fines de representar lo que él definió como “contenido conceptual” de una proposición. Unos años después, en su Fundamentos de la aritmética (Die Grundlagen der Arithmetik [1884]), se ocupó de tornar verosímil el proyecto logicista, dando cuenta de cómo enunciados que “extienden nuestro conocimiento pueden contener juicios analíticos”. (26) Finalmente la tarea principal, la de formalizar la lógica y derivar los teoremas de la aritmética, la tarea que probaría la tesis logicista de la reducibilidad de la aritmética a la lógica, fue llevada a cabo por Frege en Las leyes básicas de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik [1893/1903]), su obra magna, que le demandaría dos décadas y se publicara en dos tomos con una diferencia de diez años entre el primero y el segundo.

De 1903 es, como vimos, también el libro de Russell que cayó en manos de Wittgenstein durante sus estudios en Manchester. Dicho libro no era sino la presentación por parte de Russell de su propio desarrollo en la elaboración del programa logicista. Lo que en dicho libro encontró el joven Wittgenstein fue la irrupción de un drama intelectual. En efecto, en plena elaboración de su trabajo, Russell se topó, tardíamente, con el primer volumen de Grundgesetze… de Frege, advirtiendo que el maestro de Jena había desarrollado exhaustivamente el proyecto reductivo. Sin embargo, al leerlo, advirtió que en el mismo irrumpía una contradicción que demandaba una corrección urgente a fuer de demolición de todo el proyecto de fundamentación de la aritmética. Russell le envió una carta escrita en alemán a Frege el 16 de junio de 1902, en la que le anunciaba la contradicción hallada. Así quedó expresada, por primera vez y para siempre, la conocida Paradoja de Russell. (27)

Frege respondió inmediatamente, el 22 de junio, y la carta da cuenta de una integridad intelectual conmovedora en la que reconoce el fallo y en la que esboza alguna respuesta. (28) Estuvo a tiempo de agregar un apéndice al segundo volumen de su libro con una pretendida solución. Russell agregó a su libro un apéndice rindiendo honores a Frege y discutiendo lo aprendido en el primer volumen de Grundgesetze. Sin tiempo para una lectura pormenorizada del segundo volumen, sí pudo atender a la solución a la paradoja que Frege allí exponía, sugiriendo su aval. Sin embargo, pronto propuso su propia solución conocida como “Teoría de los Tipos”. En 1908, mientras Wittgenstein leía su libro de 1903, Russell publicaba en el American Journal of Mathematics la que consideraba era la solución, su solución, a su paradoja. Sin embargo, Frege desechó su propia propuesta volcada rápidamente en el volumen de 1903 y nunca lo convenció la solución de Russell. En el último manuscrito no publicado de Frege, sentencia la derrota del proyecto intelectual de toda su vida: “me he visto obligado a abandonar la opinión de que la aritmética sea una rama de la lógica y por lo tanto que todo en la aritmética puede ser probado lógicamente”. (29)

      En 1908, enfrentarse a los problemas de la filosofía de la matemática era tener por delante un fangal que pugnaba por solidificarse. Wittgenstein no podía no adentrarse en él; un campo barroso es una invitación ineludible para alguien con una fuerte vocación de dejar huellas.

      23- Von Wright (2001: 5).

      24- Russell (1948: 644).

      25- Coffa (2005: 47-48).

      26- Frege (1971 [1884]: 115).

      27- Frege se apoyaba para su definición de número en una comprensión de los conjuntos que daba lugar a que un conjunto pudiera ser elemento de sí mismo, en virtud de que, dada una propiedad cualquiera, un conjunto quedaba determinado. De aquel presupuesto se deducía la posibilidad en el sistema de un conjunto definible como el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Dicho conjunto es contradictorio pues o bien pertenece o bien no pertenece a sí mismo, y en cualquiera de los dos casos niega la definición que se dio del mismo. En consecuencia, dicho conjunto es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, si y solo si no es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

      28- Para el intercambio epistolar Russell-Frege, véase van Heijenoort (1967: 124-128).

      29- Véase Mosterín (1973: 12).

De la matemática al lenguaje

      Cuando Wittgenstein fue en busca de Frege y este lo motivó a dedicarse a la filosofía derivándolo al encuentro con Russell, el alemán lidiaba en soledad con las dificultades de su logicismo, y el inglés, junto a Whitehead, ya había publicado el primer tomo, y estaba en plan de publicar los dos siguientes de su monumental Principia Mathematica, en la que, teoría de tipos mediante, se pretendía haber afianzado el proyecto de fundación de las matemáticas en la lógica. La aproximación de Wittgenstein a dicho terreno filosófico fue, sin embargo, cautelosa. Sus preocupaciones teóricas parecieron concentrarse más que en los detalles de la reducción logicista, en las bases mismas de la naturaleza de la lógica y del lenguaje.

      Este paso atrás hacia discusiones más fundamentales ya lo habían dado Frege y Russell, razón por la cual no solo han pasado a la historia como pioneros de la lógica matemática, sino también como sentando las bases tanto de la semántica filosófica como del giro lingüístico en filosofía. Buena parte del desarrollo del Tractatus puede verse como una apropiación de una serie de ideas desplegadas en dicho terreno por sus dos referentes de entonces. Hacer un leve repaso por los aportes semánticos de Frege y Russell servirá para comprender el aporte tractariano.

La necesidad que tuvieron los filósofos de la matemática del siglo XIX por elaborar un nuevo lenguaje formal que fuese perspicuo y útil a los fines logicistas los puso en la senda ineludible de, como hiciera Aristóteles en su momento, atender al lenguaje en busca de estructuras. Frege, como vimos, había triunfalmente ofrecido en su Conceptografía un modo de identificar formas en los lenguajes naturales que se proponía como superador, por su capacidad expresiva, del aristotélico. Es precisamente en ese contexto de investigación, en ese trabajo de elaboración de un nuevo lenguaje formal, donde Frege se topó con un conjunto de problemas ontológicos y semánticos, que redundarían en una serie de textos fundacionales. (30) Al enfrentar dichos problemas él infirió una serie de consecuencias, de entre las cuales interesa mencionar brevemente aquí tres: la distinción entre conceptos y objetos; el dualismo semántico en términos de sentido y referencia; y la apelación a las nociones de composicionalidad y contexto.

Una vez que Frege rechazó asumir como modelo para la elaboración de un lenguaje formal la distinción gramatical sujeto/predicado, propuso matematizar la lógica tomando la distinción función/argumento, de modo que oraciones como “Wittgenstein es austríaco” o “Wittgenstein nació en Viena” sean concebidas como valores de las respectivas funciones proposicionales (esto es, “…es austríaco” y “...nació en...”) cuando los nombres “Wittgenstein” y “Viena” ocupan oportunamente los lugares de argumento del caso. La apelación a la distinción función/argumento no solo le permitió a Frege superar las limitaciones expresivas del lenguaje aristotélico, sino que también constituyó su solución al problema de la unidad de la proposición, esto es, a explicar cómo es que una oración no es una mera sucesión de nombres. Lo que tenemos aquí es el compromiso con dos tipos de expresiones que a su vez se corresponden con dos tipos de entidades en el mundo (que incluye el mundo platónico de los conceptos): los argumentos y las funciones; los objetos y los conceptos, siendo el carácter saturado de los primeros términos de ambos pares y carácter