Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

interpretar como x es menor o igual que y.

       2. Demuestra que es un número irracional.

       3. Determina, en cada caso, si la igualdad es verdadera o falsa. Justifica usando las propiedades de los números reales.

       4. Resuelve.

       5. Completa la demostración con el nombre de la propiedad que permite realizar cada paso.

3.2 Potencias y sus propiedades

       Definición

      Si b ∈ y n ∈, la potencia bⁿ representa una multiplicación de n factores iguales:

       Propiedades de las potencias

      A continuación se muestran algunas propiedades de las potencias. Considera n, m ∈, a, b ∈ – {0}.

       Actividades resueltas

       1. Simplifica la siguiente expresión aplicando las propiedades de las potencias.

       Observación:

      En las propiedades de las potencias no se analizan los casos 0⁰ y 0ⁿ, con n ∈.

       2. Resuelve el siguiente problema.

      Don Mario decide repartir sus 217 ovejas entre sus 5 hijos. El hijo mayor recibirá el doble de animales que el segundo hijo, quien recibirá el doble que el tercer hijo y así sucesivamente. ¿Cuántas ovejas tendrá cada uno?

       Resolución:

      Si el hijo mayor recibe x ovejas, el segundo hijo recibe la mitad, o sea, .

      El tercer hijo recibe la mitad del segundo, o sea,

      El cuarto hijo recibe la mitad del tercero, o sea,

      El quinto hijo recibe la mitad del cuarto hijo,

      Se resuelve la ecuación:

      Respuesta: El hijo mayor recibe 112 ovejas; el segundo, 56; el tercero, 28; el cuarto, 14; y el quinto, 7.

       Actividades

       1. Escribe cada potencia como potencia con exponente positivo.

       2. Calcula.

       3. Utiliza las propiedades de las potencias para reducir cada expresión.

       4. Remplaza en cada expresión a = 3, b = 2, c = –2 y calcula simplificando cada vez que sea necesario.

       5. Resuelve los siguientes problemas.

      a) Prueba que a⁰ = 1 aplicando el cociente de potencias de igual base si a ≠ 0.

      b) Calcula la mitad de la mitad de la mitad de 2¹⁰⁰.

      c) En una competencia entre cuatro personas acordaron repartirse como premio $ 240.000, de manera que el primer lugar se lleva el triple del premio del segundo lugar, lo que se extiende al tercer y cuarto lugar. Determinar los premios correspondientes a cada lugar.

      d) En una población de 10.000 conejos se detectó una epidemia que los está exterminando a razón de 10.000 • 2^–t, donde t es el tiempo expresado en días. Después de 3 días, ¿cuántos conejos quedan?

       6. Determina, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

      a) El cuadrado de un número racional negativo es positivo.

      b) El cubo de un número racional negativo es positivo.

      c) El producto de potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

      d) Al elevar una fracción a la cuarta, se elevan el numerador y el denominador.

       7. Completa cada teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.

       8. Resuelve.

      En una fábrica de pasteles se empacan los pasteles en cajas cúbicas cuyas aristas miden 9,5 cm. 9,5 cm

      a) ¿Cuál es el volumen de las cajas para empacar pasteles individualmente?

      b) Si se empacan los pasteles en grupos de 25 cajas como la de la figura, ¿cuál será el volumen de cada grupo de cajas?

3.3 Notación científica

       Definición

      La