Введение в теорию риска (динамических систем). В. Б. Живетин

= Р'₂ – условной вероятностью ложной оценки состояния.

      Вероятность Р₃ характеризует такое состояние, при котором превышение х значения х_кр не фиксируется в процессе контроля или оценки параметра х. Эту вероятность назовем вероятностью опасной ситуации, а P (A_γ | В'_α) ⁼ Р'₃ – условной вероятностью опасной ситуации. Вероятности Р₂ и Р₃ включают Р'₂, Р'₃, которые не зависят от характеристик средств оценки или контроля и поэтому при анализе и синтезе системы контроля могут не рассматриваться. Однако это необходимо учитывать при назначении допустимых значений Р₂, Р₃, Р'₂, Р'₃. При этом Р₂ и Р₃ отличаются от Р'₂, Р'₃ на постоянные величины.

      Запишем вероятности Р₂ и Р₃ в явном виде и выразим их через x^н, x^в, , и плотности распределения вероятностей случайных величин α и γ. Вероятность

      Воспользуемся дистрибутивными свойствами символов ∩ и . Обозначим

      Тогда для Р₂ имеем:

      Рассмотрим каждое из пересечений отдельно. Рассмотрим область на плоскости:

      Так как α и β – случайные независимые величины, то область их значений можно изобразить так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.42 в виде области G₁. Аналогично рис. 1.43–1.47:

      Рис. 1.42

      Рис. 1.43

      Рис. 1.44

      Рис. 1.45

      Рис. 1.46

      Рис. 1.47

      Используя равенства (1.6), несовместность α и β, независимость А, В, С и несовместимость D, K, получим

      где

      φ_α(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φ_β(y) – плотность вероятностей случайной величины β;

      Таким образом, Р₂ есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина х_изм, с учетом погрешностей δх, удовлетворяет D или K.

      Окончательно,

      Из теории вероятностей известно, что

      где F_β(x) – функция распределения случайной величины β; R_β(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.7) можно переписать в следующем виде:

      Перейдем к вычислению вероятности P₃:

      Таким образом,

      Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.8) и (1.9), вероятности событий (A_α ∩ B_γ) и (A_γ ∩ B'_α) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху можно считать, что x^н и → ∞, тогда F_β(–∞) = 0: