Введение в теорию риска (динамических систем). В. Б. Живетин

y(t). Предыдущие входные воздействия, подававшиеся на систему, могли изменить структуру Σ (например, из-за накопления энергии в первом приведенном примере или из-за срабатывания некоторого внутреннего переключателя во втором) настолько, что это приведет к изменению выходной величины. Другими словами, в общем случае значение выходной величины системы Σ зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздействия. Лучше всего было бы не делать специальных различий между текущим и предшествующим входным воздействием системы. Поэтому мы будем говорить, что текущее значение выходной величины системы Σ зависит от состояния системы Σ, и определим чисто интуитивно текущее состояние системы Σ как такую часть настоящего и прошлого системы Σ, которая необходима для определения настоящих и будущих значений выходной величины. Другими словами, мы рассматриваем состояние системы Σ как некоторую (внутреннюю) характеристику системы Σ, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее. И если рассуждать совсем упрощенно, то состояние можно рассматривать как своего рода хранилище информации, или запоминающее устройство, или накопитель прецедентов. При этом нам нужно, конечно, потребовать, чтобы множество внутренних состояний системы Σ было достаточно богатым для того, чтобы вместить всю информацию о предыстории системы Σ, необходимой для предсказания влияния прошлого на будущее. Однако мы не станем требовать, чтобы состояние содержало лишь минимум такой информации, хотя, конечно, подобное требование является удобным упрощающим предположением».

      Для того чтобы заслужить название «динамической», система Σ должна обладать еще одним свойством. Знание состояния x(t₁) и отрезка входного воздействия ω = ω(t₁, t₂] должно быть необходимым и достаточным условием, позволяющим определить состояние x(t₂) = φ(t₂; t₁, x(t₁), ω) каждый раз, когда t₁ < t₂. Заметим, что в связи с этим придется потребовать, чтобы множество моментов времени Т было упорядоченным, т. е. чтобы в нем было определено направление времени. Обычно упорядоченность множества Т выбирается так, чтобы прошлое предшествовало будущему. Заметим также, что введенное понятие «динамической» системы, грубо говоря, совпадает с понятием «причинной» системы в том смысле, что прошлое влияет на будущее, но не наоборот. Короче говоря, математическое понятие динамической системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

      Внутренние свойства классической динамической системы отображаются функциями φ и η. Первая функция отображает итоговые свойства на структурном или системном уровне, и, как правило, эти свойства неизменные. Вторая функция описывает процесс наблюдения в виде y(t) = η(t, x(t)) выходных координат х(t) состояния, которая формируется переходной функцией состояния φ вида: x(t) = φ(t; t₀, x(t₀), ω) X.

      Здесь внешнее взаимодействие динамической системы со средой