Bir Nefeste Matematik. Chris Waring

sayıların bazılarının 3, 7, 31 ve 127 gibi asal sayılar olduklarını fark etmiştir. Bu sayılar da dizideki ikinci, üçüncü, beşinci ve yedinci sayılardır. İki, üç, beş ve yedinin kendisi de ayrıca asal sayılardır. Dolayısıyla görünüşe göre n yerine bir asal sayı koyduğumuzda formülden bir asal sayı elde edersiniz. Ancak yediden sonraki asal sayı on birdir ve formüle göre M₁₁ = 2047 eder. Ne var ki 2047 bir asal sayı değildir çünkü 2047 = 23 x 89 eder.

      Büyük asal sayıları makine yardımı olmaksızın belirlemek zordur. Örneğin, M₁₀₇ ile 33 haneli bir sayı elde edilir ve herhangi bir sayının bunun böleni olup olmadığını ve bu sebeple de bu sayının bir çarpan olup olmadığını kontrol etmek oldukça zaman alıcı bir uğraş olur.

      Kusursuzca ve hiç usanmadan hesaplamalar yapabilen bilgisayarların bulunduğu dijital çağa buyurun. 1950’li yıllardaki ilk bilgisayarlar yüzlerce haneleri olan ve bilindikleri ismiyle Mersenne asal sayılarını bulabiliyorlardı. 1999 yılına gelindiğinde ise ilk milyon haneli Mersenne asal sayısı keşfedildi. Günümüzdeki rekor ise M_74,207,281 için belirlenen 22 milyondan fazla basamağı olan bir sayıdır.

Uzuuun Çarpım

      Amerikalı matematikçi Frank Nelson Cole (1861-1926), 1903 yılında, bir dersi esnasında asal sayı olduğu düşünülen M₆₇ hakkında aşağıdaki çarpımı yazmıştı:

      147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721x761.838.257.287

      Daha sonra sonucun doğruluğunu ispatlamak için bu çarpım işlemini elle yapmaya koyulmuştu. Bunu yapması bir saatini almış ve çarpım işlemini tam bir sessizlik içinde gerçekleştirmişti. Cole, “dersinin” sonunda yerine tek kelime etmeden geçmiş ve bu sırada meslektaşları tarafından ayakta alkışlanmıştı.

      Ne gerek vardı? Aslında matematikçiler oldum olası mesleklerine duydukları katıksız sevgiden dolayı hemen her şeyi araştırırlar. Öte yandan asal sayılar modern zamanın şifreleme yöntemlerinin omurgasını oluştururlar. Örneğin kredi kartımın detayları gibi bir sayıyı internet aracılığı ile iletmek istersem ne yaptıklarını bilen insanlar için bu sayıyı yakalayıp paramı harcamak çok kolaydır.

      Buna engel olmak adına internet, iletilmekte olan sayıyı değiştirmek için bir ortak anahtarın kullanıldığı şifreleme yönteminden yararlanır. Bu anahtar ise aslında çok büyük asal sayılardan yaratılmış olan çok büyük ve açıkçası rasgele bir araya getirilmiş sayıların birleşimidir. Sadece özel anahtara sahip olan planlanan alıcı bu süreci belirli bir zaman dilimi içerisinde geriye çevirebilir.

      Ağ adresinin başındaki “https”, bu ağ sitesinin bilgisayarınıza gelen ve ondan giden bilgiyi şifrelemek üzere Hypertext Transfer Protocol with Transport Layer Security (Güvenli Bağlantılı Metin Aktarım Protokolü) kullandığı anlamına gelir. Böylece bazı çok akıllı matematikçiler sayesinde çevrimiçi olarak istediklerinizi güvenle sipariş edebilirsiniz.

      7. Bölüm

      İKİLİ SİSTEM

      İlk bölümde bilgisayarlardan ve kolayca gerçekleştirdikleri aritmetik işlemlerden nasıl faydalanabileceğimizden bahsetmiştim. Bununla nirlikte bilgisayarlar çoğunlukla insan zekâsının ürünüdür. En nihayetinde elektronik bilimden yararlanıp ikili sistemle hesaplama yapabilen makineler meydana getiren, yani bilgisayarları dijitalleştiren de insan zekâsıdır. Bu, her basamak değerinin on sayısının katı olduğu (1, 10, 100, 1000 vs.) bizim kullandığımız ondalık sistemin aksine basamak değerlerinin iki sayısının katları olduğu (1, 2, 4, 8, 16 vs.) bir sayı sistemidir.

      Bunun nedeni ise, elektronik bakış açısıyla, elektrik gerilimlerini ya sıfır ya da sıfır-değil (sıfır-değiller bir olarak sayılır) olarak görmenin daha kolay olmasıdır. Şayet sıfır volt değerindeki gerilimler için sıfır, bir volt için bir ve benzeri biçiminde bir analog ondalık sistem kurmaya çalışsaydık bilgisayar içindeki bileşenler arasındaki kablonun uzunluğuna bağlı olarak gerilim değerlerinin düşmesinin yanı sıra bilgisayar ısındıkça içindeki bileşenlerin de direnci değişeceğinden bazı sorunlarla karşılaşırdık.

      Modern bilgisayarların hesaplama sisteminden dolayı ikili sistemin oldukça modern bir icat olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak öyle değil. Dünyanın çeşitli yerlerindeki farklı kültürler, hemen hemen her türden farklı durumda ikili sistemi kullanmışlardır. Çin’de MÖ sekizinci yüzyıldan beri kehanetleri görmek için kullanılan I Ching (Değişimler Kitabı), ikili yin yang sembollerine dayanan trigram ve heksagram ve sembolleri kullanmaktadır. Büyük Alman matematikçi Gottfried Leibniz (1646-1716), I Ching’e hayran kalmış ve ve 1600’lerin sonlarında modern ikili sistemi tasarlamıştır.

      Buradan sonra ise İngiliz mantıkçı George Boole (1815-64), The Laws of Thought (Düşünce Yasaları) isimli kitabında ikili sayıları kullanan bir mantık sistemi düzenlemiştir. Amerikalı matematikçi Claude Shannon (1916-2001) günümüzde Boolean mantığı olarak bilinen bu sistemi ilk kez 1937 yılında elektronik bir devrede kullanan ilk kişi olmuş ve sistemin aritmetik ve mantık işlemlerinde kullanılabileceğini de göstermiştir. Shannon ikili bilgiyi temsil etmek üzere anahtarlar kullanmıştır. Anahtar kapalı iken sıfırı, açık konumdaykense biri temsil etmektedir.

      Shannon, İkinci Dünya Savaşı sırasında Nazi şifrelerini kırmada bilgisayarların kullanımı üzerine tartışmak için İngiliz matematik kahramanı Alan Turing (1912-1954) ile buluşmuştur. Çalışmalarının aslında birbirlerinin çalışmalarını tamamladığını keşfetmişlerdir. Shannon’un 1948 tarihli, “İletişimin Matematiksel Kuramı” başlıklı makalesi onu bilfiil tüm modern dijital bilgisayarların babası kılmıştır.

      Şayet bir bilgisayar gibi aritmetik işlem gerçekleştirmek isterseniz ikili sistemde 1 + 1 = 10 olduğunu unutmadığınız takdirde kuralların aynı kaldığını görmekten memnun olacaksınız. Örneğin 101 + 110 işlemi şu şekilde görünecektir:

      Şayet 10 – 1 = 1 olduğunu hatırlayacak olursak 1010 – 111 ise şöyle görünecektir:

      101 x110 ise şöyle görünecektir (aslında ondalık çarpım tablosuna dair bütün o bilgiye ihtiyaç duymadığınızı dikkate alın!):

      Buradan da 10100 + 1010 = 11110 olur.

      Bölme işlemi için ise 1010 ÷ 100 şu şekilde hesaplanır:

      İkili sistemde de bayağı kesirlerimiz olabildiğine ve ondalık virgülün sağındaki basamakların yarım, çeyrek, sekizde birler vs. şeklinde olacağına dikkat ediniz. Bu yüzden burada 0,1 yarım değeri temsil etmektedir.

      Buradaki tüm hesaplamaları kontrol etmek üzere ondalık sayıya çevirmeyi okuyucular için bir alıştırma olarak bırakıyorum!

      Bir bilgisayarın hesaplamaları ne kadar hızlı gerçekleştireceği konusundaki sınırlayıcı faktör, bir mikroçipin içine sığdırılabilecek anahtarların (ya da transistörlerin) sayısı ve ayrıca bunların ürettikleri ısının üstesinden gelebilmesidir. Şimdilik yedi milyar transistörü piyasada satılan küçük boyutlardaki bir bilgisayar yongasına sığdırmak mümkündür. İntel şirketinin kurucularından Amerikalı girişimci Gordon Moore, 1965 yılında mikroçiplerin teknolojik olarak gelişiminin üzerlerindeki transistör sayısının her iki yılda bir iki katına çıkmasına