Bir Nefeste Matematik. Chris Waring

gibi kesirlerden oluştuğu düşüncesini kavramışızdır:

      Bir matematik öğretmeni size, “Kesir çizgisinin üzerinde ne yapıyorsan altında da aynısını yap,” demiştir muhtemelen. Ancak yüksek ihtimalle söylemedikleri şey, bunun denkliği koruduğudur.

      Bu, bana bayağı kesirleri ondalıklara çevirmek için bir başka yöntem sunar. Örneğin gibi bir kesir, pek de bölmek için can atacağım bir şey değildir. Ancak pay ile paydayı dörtle çarparsam, şöyle bir şey elde ederim:

      İşlem tamam. Kafa yoracağım bir sonraki şey ise paydayı, onun kuvvetini elde edebilecek şekilde çarpıp çarpamayacağımı nereden anlayacağımdır.

      Bunu sınamak için asal sayılar kavramını anlamanız gerekir. Bu sayılar çok uzun bir zamandır matematikçileri büyülemiştir. Kısa ve öz bir şekilde ifade etmek gerekirse bir asal sayı tam olarak iki çarpanı olan bir doğal sayıdır. Örneğin sekiz sayısı sırasıyla bir, iki, dört ve sekizin kendisine bölünebilir ve dolayısıyla dört çarpanı olduğundan asal bir sayı değildir. Beş ise iki çarpana sahiptir, bir ve beş; bu yüzden de bir asal sayıdır. Bir ise tek bir çarpana sahiptir, o da birin kendisidir; bu sebeple de asal sayı değildir. Bu yüzden de “sadece kendisine ve bire bölünen sayı” diye açıklanan saçmalığı unutun gitsin. En baştan başlayarak asal sayıların birkaçını şöyle sıralayabiliriz; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

      Asal sayıların bu denli müthiş olmasının nedenlerinden biri aritmetiğin asal çarpanlara ayırma olarak adlandırılan kuramıdır. Bu kurama göre her bir doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir, ancak sadece bir şekilde. Örneğin:

      Asal sayıların 30’u elde etmek üzere çarpımının bundan başka hiçbir birleşimi yoktur. İki, üç ve beş sayıları otuzun asal çarpanlarıdır. Bana göre bu durum asal sayıları matematiksel DNA yapar; her sayı eşsizdir ve sayılar arasında endişelenmemizi gerektiren ikizler ya da klonlar bulunmaz! Hatta 223.092.870 gibi çok büyük bir sayı bile asal sayılar ile sadece bir şekilde yazılabilir (bu da aslında 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23’e eşittir).

      Peki, bu durumun bayağı kesirlerde bana nasıl bir faydası olur? Aslında daha önce bir bayağı kesrin sonlandırılması için paydasını on sayısının bir katına dönüştürebilmem gerektiğinden bahsetmiştim. On sayısının asal çarpanları şöyledir:

      Yüz sayısının asal çarpanlarını elde etmek için ise şunu hatırlamak yeterlidir:

      Böylece on sayısının asal çarpanları iki ile beş olur ve aynı şey yüz sayısı için de geçerlidir (sadece biraz fazla sayıda iki ve beş gerekir). Buradan on sayısının herhangi bir katının asal çarpanlarının sadece iki ve beş olduğunu anlayabiliriz. Bu yüzden şayet paydamın asal çarpanları herhangi bir şekilde ikiler ya da beşlerin birleşiminden oluşuyorsa o halde bunu on sayısının katını elde edebilecek şekilde çarpmanın da bir yolu vardır demektir. Yukarıda verdiğim bayağı kesir 250 gibi bir paydaya sahipti ve bu da şu şekilde yazılabilir:

      Bu birleşim sadece ikiler ve beşlerden oluşmaktadır. Yukarıda bu sayıyı 1000’i elde edecek şekilde 2 × 2 olan dört ile çarpmıştım. Şayet payda 240 olsaydı:

      olurdu. Bu sefer çarpım birleşiminde bir tane üç var. Yani en basit haliyle paydası 240 olan herhangi bir bayağı kesir tekrarlanacaktır. Örneğin:

      Diğer yandan ise:

      Bu bayağı kesir en basit haliyle artık iki ya da beşten başka bir paydaya sahip olamaz ve bu yüzden de sonlanır.

Bayağı Kesirleri Toplama ve Çıkarma

      Hazır bayağı kesirler konusundayken aritmetik hesaplamalarını yeniden özetlemek yerinde olacaktır. Toplama ya da çıkarma yapmak için bayağı kesirleri aynı paydaya sahip olacak şekilde dönüştürmek gerekir. Bunu en etkili biçimde yapmak için de her iki paydanın da çarpanı olduğu en düşük sayıyı aramamız gerekir: en küçük ortak çarpan. Örneğin sekizde beş ile on ikide yediyi toplamak istersem, sekiz ile on ikinin her ikisinin birden çarpanı olduğu en küçük sayıyı belirlemem gerekir. Çarpım tablosundan hemen hem sekiz hem de on ikinin içinde bulunduğu yirmi dördü belirleriz:

      Buna payı paydasından büyük olduğu için en ağır ya da bileşik kesir denir. Bu, matematikte lise seviyesine ya da eşdeğerine ulaşana dek kabul edilmez bir durumdur nedense. Bence bunun nedeni her ne kadar bileşik kesirlerle hesaplamalar yapmak daha kolay olsa da ilk bakışta tam sayılı kesirleri anlamanın daha kolay olmasıdır. Bileşik bir kesri karma kesre çevirmek için olduğunu fark etmem gerekir. Bu da şu anlama gelir:

      Çıkarma işlemi de benzer biçimde gerçekleştirilir:

      En küçük ortak çarpan 36’dır. Denkliği, paydası 36 olan kesirlere dönüştürmek üzere kullanın.

Bayağı Kesirleri Çarpma ve Bölme

      Çarpma işlemi çok kolaydır; payları ve paydaları birbirleriyle çarparım. Örneğin:

      Bir bayağı kesir ile çarpım yaptığınızda toplam değerin küçüldüğünü belirtmekte yarar vardır. Ayrıca burada bir yarım değeri (1/2) bayağı kesirleri bölmede bize yardımcı olacak bir şeyi vurgulamak üzere özellikle seçtim. Yukarıda bir yarım değer ile çarpımın aslında ikiye bölmeye eşdeğer olduğunu görebiliyoruz. Ve benzer biçimde üçte bir değerle çarpım da aslında üçe bölmeye eş olacaktır. Bu ilişkiye bir sayının tersi denir. İki ile yarım (1/2) birbirlerinin tersidir ve şayet iki sayısını bayağı bir kesir olarak yazacak olursam bu durumun nasıl işlediği açıklığa kavuşur:

      Herhangi bir sayıya bölmek, onun tersi ile çarpmanın aynısı olmasından dolayı aslında bu oldukça kullanışlıdır.

      Bu bilgiyi bayağı kesirleri bölmek için kullanabilirim:

      On beşin asal çarpanları üç ile beştir ve bu yüzden bir ondalık sayı olarak devirli sayı olacaktır.

Asal Sayıların Bulunması

      Asal sayıların matematikçiler tarafından bu denli ilgi odağı olmasının nedenlerinden biri de şimdiye dek hiç kimsenin asal sayılar için belirli bir model ya da formülü keşfetmemiş