Bir Nefeste Matematik. Chris Waring

ile kanıtlanamadığını ya da çürütülemediğini göstermektedir.

      Burada ispatlanabilen şey ise Cantor’un o zamana dek sadece düşünürler ve tanrıbilimciler tarafından ciddiye alınan bir kavramı (sonsuzluk) böylesi bir noktaya taşıdığı ve matematiğin yegâne temeli hakkında yeni bir düşünceyi harekete geçirmiş olmasıdır. Ne var ki düşüncelerinin yol açtığı anlaşmazlıklar ve tartışmalar Cantor’a büyük sıkıntılar vermiş ve hayatının ikinci yarısında başına bela olan bunalım krizlerine neden olmuştur. Süreklilik hipotezinin Hilbert problemlerinin arasına dahil edilmesi (bkz. sayfa 16), umuyoruz ki ne kadar büyük bir başarı elde ettiğini görmesini sağlamıştır. Sonsuzlukların farklı olabilecekleri düşüncesi bile hayret uyandırıcı bir şeydir doğrusu.

      3. Bölüm

      ARİTMETİK

      Saymayı bildiğinizi düşünerek devam edeceğim. Hayatım boyunca sayı saymayı bilmeyen bir yetişkinle hiç karşılaşmadım. Matematiğin ilk kısmını çoğunlukla daha okula gitmeden önce öğreniriz. Küçük yaştaki pek çok çocuk, daha sayıların ne anlama geldiğini öğrenmeden önce papağan gibi birden ona kadar saymayı öğrenir.

      Matematiği inceleme yollarından birinin hedeflenen sonuçlara ulaşmak için kullanılabilecek belli başlı ilkeleri anlamaya dayandığı söylenebilir. Önce anlamak sonra da öğrenme süreci gelir. Buna rağmen çoğumuz anlama kısmına neredeyse hiç ulaşamaz (ya da böyle bir fırsatımız olmaz) ve sadece öğrenme süreciyle baş başa kalırız. Bu durumda ortaya çıkan asıl sorun, herhangi bir beceride olduğu gibi, ihmal ettikçe bilgilerin unutulmasıdır. İhmalle birlikte anlama süreci de zayıflar. Matematik hakkında sevdiğim şey, kuzey yarımkürede küçük bir adada yaşayan sıradan bir insan olarak benim, kökeni binlerce yıl, halk ve kültür öncesine dayanan bir akıl piramidinin tepesinde bulunuyor olmamdır. Matematik piramidinin benden çok daha yükseklerinde bulunan birçok insan var; ancak ben kariyerimi diğer insanların kendi piramitlerini kurmasına yardım etmekle geçirmeyi seçtim. Deneyimlerimden hareketle gerçekleri, algoritmaları ve işlemleri ezberlemede ne kadar iyi olduğunuzun önemli olmadığını biliyorum. Gerçek manada anlamadığınız sürece, bir noktada piramidiniz yıkılmaya mahkûmdur.

      Aritmetiğin akademik yöntemlerine girmeden önce + ve – sembollerinin iki yönlü doğasına kısaca bir göz atmak istiyorum. Bu semboller Batı dünyasına ilk kez Almanya’da, 1400’lerin sonlarından itibaren takdim edilmiştir. Johannes Widmann (yaklaşık 1460-98) 1489 yılında bu sembollerin kullanıldığı en eski İngilizce yazılı kaynak olan Neat and Nimble Calculation in All Trades (Tüm Ticaret İşlerindeki Zekice ve Hünerli Hesaplamalar) başlıklı kitabı yazdı.

      En başından itibaren sembollerin her birinin insanların birbirinden ayırmakta zorlandığı iki anlamı vardı. Sembollerin ikisi de toplamak ya da çıkarmak üzere bir işlemi belirtebilir veyahut pozitif ile negatifi göstermek adına bir işaret olabilir. Semboller bir yandan komut ve tanımlama işlevi görürken bir yandan da bir eylemi ve ismi belirtir. Örneğin +3, hem “3 ekleyin,” hem de “pozitif 3” anlamına gelebilir. O halde hangi anlamda kullanıldığını nereden bileceğiz?

      Matematik eğitiminde zihin aritmetiği yapmaya ya da “büyüktür” ve “küçüktür” kavramlarını anlamaya yardımcı olmak üzere sayı doğrusu kavramını kullanmak oldukça yaygındır. Sık sık öğrencilerime sayı doğrularını yatay mı yoksa dikey mi gördüklerini ve sayıların hangi doğrultuda sıralandıklarını sorarım. Eminim bu konu üzerine de çok ilginç araştırmalar yapılabilir. Yaptığım benzetme adına burada kullanacağımız sayı doğrusu tıpkı bir termometre gibi dikey olacaktır.

      Burada + ve – işaretlerinin bize yanındaki sayının pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu gösterecek biçimde tanımlayıcı olarak kullanıldıklarını görebiliriz. Genellikle pozitif sayıların başında tanımlayıcı olarak + işaretini kullanmayız ancak burada sayı doğrusunun pozitif kısmını vurgulamak üzere kullandım. Sıfır ise görebileceğimiz üzere doğrunun tam ortasındadır ve ne pozitif ne de negatiftir.

      Şimdi matematiksel bir sıcak hava balonunun pilotu olduğunuzu hayal edin. Balonun irtifasını değiştirmenin iki yolu vardır: balondaki ısının miktarını değiştirmek ve balondaki kum torbalarının miktarını değiştirmek. Balonun yukarıya doğru çıkmasını sağladığı için ısıyı pozitif olarak ele alacağız. Balondaki ısı miktarını da iki biçimde değiştirebilirsiniz. Brülörü kullanarak daha fazla ısı ekleyebilir ya da balonun tepesine bir delik açıp sıcak havanın dışarı çıkmasına izin vererek ısıyı azaltabilirsiniz. Balonun aşağı doğru inmesine neden olduğu için kum torbalarını da negatif olarak ele alacağız. Kum torbalarının miktarını da birazını balonun kenarından aşağı atarak ya da arkadaşınızın bir drone ile sepetinize biraz daha eklemesiyle değiştirebilirsiniz. Bu dört önerinin her birini matematiksel bir işlemle ifade edebiliriz:

Hint-Arap Rakamları

      Sayıları yazma biçimimiz Hint-Arap sistemi olarak adlandırılır çünkü bu iki kültürden de birkaç önemli buluşu birleştirmektedir. Her bir basamağın bir öncekine göre on katı değerde olduğu ondalık bir sisteme dayanan sayma sistemini MS 500 yılında ilk kez kullananlar arasında Aryabhata (475-550) isimli Hintli bir gökbilimci bulunuyordu. Bir başka Hintli gökbilimci Brahmagupta ise sayılar için dokuz sembol ve boş basamağı temsil etmek için de bir nokta kullanarak (ki daha sonra bu sembol sıfır için kullandığımız 0’a dönüşmüştür) bu sistemi güzelleştirmiştir.

      Yeni sistemin hesaplamada sağladığı verimlilik, sistemi popüler kılmış ve dünyanın her yerine yayılmasına neden olmuştur. Dokuzuncu yüzyıla varmadan sistem, “algoritma” sözcüğünü borçlu olduğumuz ve bu konu üzerine ilmi bir eser yazan Muhammed el Hârizmî (yaklaşık 780-850) isimli bir Arap matematikçiye ulaştı. Çalışma daha sonra Latinceye çevrildi ve bu da Batı dünyasının ilk kez bu sayılara erişmesine imkân sağladı.

      Ne yazık ki sistem Avrupa’da çok fazla ilgi görmedi. Arap dünyasında eğitim gören ve ayrıca Fibonacci olarak da bilinen Pisa’lı Leonardo (yaklaşık 1175-1240) bu konuyu 1202 yılında kitabı Liber abaci’de kullandı. Kitap, esnaf ve matematikçileri abaküs kullanmayı bırakıp Hint-Arap sisteminin potansiyel gücünü kabul etmeye ikna etme konusunda etkili oldu. Ancak o da Latince yazılmış olduğundan birçok kişi anlamıyordu. 1522 yılında, Adam Ries (1492-1559) bu rakamların nasıl kullanılacağını izah ettiği bir kitabı anadilinde (Almanca) kaleme aldı. Bu da sonunda okuryazar olan ancak klasik eğitim almamış halkın sistemden yararlanmasını mümkün kıldı.

      Tablonun son sırası çoğu insanın kabul ettiği (ya da ezbere öğrendiği) ancak nedenini gerçekten anlamadığı kısımdır. Neyse ki balon benzetmesinin biraz yardımı dokunacaktır.

      Artık balonumuzun yukarı ve aşağı nasıl hareket ettirildiğini, yani matematikçilerin işlem dediği şeyi aydınlığa kavuşturmuş oluyoruz. Şayet irtifamızı, yani sayı doğrusunda konumumuzu, hesaplamak istiyorsak bir hesaplama yapmamız gerekir. Hesaplamadaki ilk sayı mevcut irtifamızı ve hesaplamanın geri kalanı ise hangi eylemin yerine getirileceğini göstermektedir. Örneğin, – 4 +3’ü şu şekilde yorumlayabiliriz:

      Burada balon sayı doğrusunda üç sıra yükselip – 4’ten – 1’e çıkacaktır1. Bu yüzden – 4 + 3 = – 1 olur.

      İçinde bir sürü negatifin bulunduğu birazcık daha hileli bir örnek – 1 – – 6 olacaktır ve şu şekilde yorumlayabiliriz:

1

Gerçek bir sıcak hava balonunun yükselmeye devam edeceğinin tamamıyla farkındayım. Bu yüzden de bu balonun fiziksel değil matematiksel bir balon olduğunu belirttim.