Bir Nefeste Matematik. Chris Waring

ise – 5 + – 30 + – 100 + 1000 = – 135 + 1000 = 865 sonucuna ulaşırım. Yine basamak yöntemimizi kullanabilirsiniz ancak toplamada bir basamakta çok fazla sayı olmasını önlemek için kullandığımız diğer basamağa taşıma sisteminin tersine ihtiyacımız var. Daha önce yaptığım gibi devam edecek olursam:

      Pek de mantıklı görünmüyor, değil mi? Burada ödünç almaya ihtiyaç duyuyorum. Aslında öğrencilerimden birinin işaret ettiği üzere ödünç alınan miktar asla geri dönmediği için bu işlem için çalmak çok daha doğru bir kelime olacaktır.

      3 – 8’in bir negatif sayı verdiğini fark ettiğimde bir sonraki basamaktan ödünç alarak 3’ü artırıyorum. Soldaki basamaktaki 4’ün üstünü çizip onun değerini bir düşürüyorum. Ödünç almış olduğum “bir” aslında on değerinde olduğu için birler basamağındaki 3 aslında 13’e yükselir. Böylece 13 – 8 =5 olur:

      Bir sonraki basamak da 3 – 7 = – 4 şeklinde negatif bir sonuç verecektir. Yine kapı komşusu yüzler basamağından bir ödünç alırım. Yüzün değeri on tane on olduğu için elimdeki 3 tane onu 13 tane ona yükseltir böylece şu şekilde devam edebilirim:

      Ancak devam etmeden önce yüzler basamağı için de bir başka ödünç alma işlemine ihtiyacım var ve görünüşe bakılırsa binler basamağımın değeri sıfıra düşecektir:

      Böylece 6543 – 5678 = 865 olduğunu anlayabiliriz.

      Önceki bölümde toplama ile çarpmanın birbiriyle yakından bağıntılı olduğunu görmüştük. Benzeri, çıkarma ve bölme için de geçerlidir. 3780 ÷ 15 işlemi bize aslında “3780’de kaç tane on beşin olduğunu” yani “3780’den kaç kez on beşin çıkarılabileceğini” sormaktadır. Aslında bu düşünce biçimi yığma adı verilen bir bölme yönteminin anahtarıdır. Bu yöntemde sıfıra ulaşana dek bölenin katlarını çıkarmayı sürdürüyorum.

      2 × 15 = 30 olduğunu buradan da 200 × 15’in de 3000 olması gerektiğini biliyorum. Bunu 3780’den çıkararak başlıyorum:

      Buradan elimde 780 kalır. 4 × 15 = 60 yani 40 × 15 = 600 eder. Daha sonra bunu da çıkarırım:

      Son olarak on iki tane daha on beşi iki işlemle çıkarırım:

      Artık 200 + 40 + 10 + 2 = 252 tane 15 çıkardığımı biliyorum. Yani 3780 ÷ 15 = 252 olur. Çarpmada ne kadar iyiyseniz burada o kadar az sayıda yığın alma basamağından geçebileceğinizi anlayabilirsiniz.

      Çok korkulan uzun bölme (kalanlı bölme) yöntemi de çok benzer ilkelerle çalışmaktadır. Burada problemi otobüs durağı ismini verdiğim bir düzende kurguluyorum:

      Soldan başlıyorum. 15 sayısı iki haneli olduğu için 3 ve 7’ye bakıyorum – 37 sayısında kaç tane 15 vardır? İki kez. Bu da bize 30’u verir ve sonra geriye kalanı çıkarma işlemini kullanarak hesaplıyorum:

      Dikkatimi şimdi elde ettiğim 7’ye ve bu 7’nin yanına yazacağım 8’e çeviriyorum. 78’de kaç tane on beş var? Bildiğim kadarıyla beş tane on beş 75 eder:

      Son olarak sıfırı elde ettiğim sayının yanına indiriyorum ve 30 sayısında kaç tane on beşin bulunduğuna dikkat ediyorum:

      Kısa bölme işlemi de tıpkı uzun bölme gibidir ancak tek farkı kalanları kafamızdan hesaplayıp bunları elde sayıları olarak yazarız. Kısa bölme işlemi kesirleri ondalık sayılara çevirmekte kullanışlıdır. Şayet ’in bir ondalık sayı olarak ne olduğunu öğrenmek istiyorsam 5 ÷ 8’ i hesaplayabilirim:

      Sekiz sayısı 5’in içinde sıfır kez vardır ve geriye 5 kalır. Bu geriye kalanı bir ondalık virgülü ve bir başka sıfır yazana dek koyabileceğim herhangi bir yer yoktur. Bunu yapabiliyorum çünkü 5 = 5,0 ve buna karşılık gelen bir sıfırı yukarı yazıyorum:

      50 içinde 8 ise 6 kez vardır ve kalan da 2’dir (ondalık virgülden sonra gerektiği kadar sıfır ekleyebilirim):

      20 içinde 8 ise iki kez vardır ve geriye 4 kalır:

      Ve 40 sayısında ise tam olarak beş tane sekiz vardır:

      Yani artık = 5 ÷ 8 = 0,625 olduğunu biliyoruz. Her ne kadar daha zor olanları için uzun bölmeyi kullanmayı tercih edebilirseniz de bu yöntem her bayağı kesir için işe yarayacaktır. Bir sonraki bölümde bu kadar kolay hesaplanamayan bazı bayağı kesirleri inceleyeceğiz.

      6. Bölüm

      BAYAĞI KESİRLER VE ASAL SAYILAR

      Bir bayağı kesrin nasıl ondalık sayı olarak ifade edildiğini az önce öğrendik. Şimdi ’e bir bakalım çünkü burada ilginç bir şeyler oluyor:

      Hemen bir döngünün gerçekleştiğini fark ediyoruz; on sayısında üç, üç kere vardır ve geriye bir kalır ve bu durum sonsuza dek tekrarlanır. Bu durumun görüldüğü ondalık sayılara tekrarlanan denir ve tekrar eden hanenin üstüne bir devir çizgisi ekleriz:

      Durum yedide bir için çok daha ilginç bir hal alır:

      Burada elimde tekrarlanan bir haneler dizisi bulunmaktadır. Bunu tüm dizinin üstüne bir devir çizgisi ekleyerek gösterebilirim:

      Dahası paydası 7 olan diğer kesirler de benzer diziyi kullanır, yalnızca farklı başlangıç ve bitiş noktalarına sahiptir.

      Canınız biraz daha zorlu bir şey çektiyse dokuzları bir deneyin!

      Bir bayağı kesrin paydasına bakarak tekrarlayıp tekrarlanmayacağını söyleyebilirim. Paydayı alıp onun katlarını (10, 100, 100 vs.) elde etmek üzere herhangi bir şeyle çarpabilirim. Şayet yapabiliyorsam dönüştürdüğümde ondalık sütunlarda sorunsuzca yerleşmesini sağlayabilirim.

      Bunu