Bir Nefeste Matematik. Chris Waring

saniye! Bundan 2500 yıl önce Hindistan’da bazı matematikçiler, kesir olarak yazılamayan bazı sayıların varlığından bahsetmektelerdi ve tabii ki “bazı” sayılar derken aslında sonsuz sayıda olduklarını kastediyorlardı. Karesi (kendisiyle çarpımı) iki olan bir sayı olmadığını keşfettiler, böylece ikinin karekökünün rasyonel bir sayı olmadığı anlaşıldı. Aslında ikinin karesini yuvarlamadan bir sayı olarak yazamıyoruz, bu sebeple de ikiye yaptığımız şeyi kök sembolünü kullanarak gösterebiliriz:√2. Yazılamayan bir sayıyı yazmaya çalışmak biraz beyhude bir iş olduğundan bunun yerine sembol kullandığımız gerçekten önemli diğer sayılar da mevcuttur: π, e, φ gibi sayılar daha sonra bakacağımız bu tip sayılara verilebilecek üç örnektir. Bu tip sayılara irrasyonel sayılar deriz ve bunları da hayvanat bahçeme koymam gerekir. Peki, ardışık rasyonel sayılar arasında kaç tane irrasyonel sayı olduğunu tahmin edebilir misiniz? Doğrusu, sonsuz sayıda! Her ne kadar bu konuda Cantor’un (bkz. sayfa 17) söyleyecek birkaç şeyi olsa da ekstra parmaklık inşa etmek zorunda kalmadan bu sayıları da sonsuz hayvanat bahçeme sıkıştırabilirim.

Kareler ve Karekökler

      Bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda bu sayının karesini elde etmiş oluruz. Bu durumu üst ya da kök üssü olarak adlandırılan küçük bir iki ile gösteririz.

      Üçün karesi dokuzdur. Bu da üçü, dokuzun karekökü yapar. Karekök almak bir sayının karesinin alınmasının tam tersidir. On altının karekökü dörttür, çünkü dördün karesi on altıdır.

      Dokuz ve on altı gibi sayılar tam karedirler çünkü bu gibi sayıların karekökü bir tamsayıdır. Kesirler ve ondalık sayılar dahil olmak üzere her sayının karesi alınabilir. Her pozitif sayının da karekökü alınabilir.

      (Bu konu hakkında daha fazla bilgi için bkz. sayfa 58)

      İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayıları bir araya getirdiğimizde matematikçilerin gerçek (reel) sayılar olarak nitelendirdiği sayıları elde ederiz. Daha önce bahsettiğimiz sayıların bir örüntü oluşturduğunu (rasyonel-irrasyonel) fark ettiyseniz gerçek olmayan sayıların da var olabileceğinden şüphelenebilirsiniz ve haklısınız da. Ancak burada durup hayvanat bahçeme “Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi” ismini vereceğim. Çoğu hayvanat bahçesi hayvanlarını türlerine göre ayırır, bu yüzden de kendi bahçemi örtüşen sayı türlerine göre organize edebilirim. Haritası şu şekilde görünebilir ve hayvanat bahçesinde geçireceğiniz gününüzü planlamanıza yardımcı olması için mutlaka görülmesi gereken birkaç yer de ekledim:

Sonsuz Gerçek Sayılar Hayvanat Bahçesi

      Hayvanat bahçemin Alman matematikçi David Hilbert’e (1862-1943) çok şey borçlu olduğu gerçeğini kabul etmem gerekir. Matematiğe çok büyük katkısı olmuştur ancak en çok da bu konunun lideri ve savunucusu olmasıyla bilinir. 1900 yılında Uluslararası Matematik Kongresi için – günümüzde Hilbert problemleri olarak bilinen – yirmi üç çözülmemiş problemden oluşan bir liste çıkarmıştır ve bu problemlerden üçü hâlâ çözülememiştir. Hayvanat bahçemin kaynağını oluşturan Hilbert Oteli düşünce deneyi, Hilbert’in sonsuz sayıda misafirin doldurduğu sonsuz sayıda odası bulunan bir otel hakkındaki derin düşünceleriyle ilgilidir. Hilbert’e göre otelin ilk müşterilerini oda numaralarını ikiyle çarpıp elde ettiğimiz yeni numarayı taşıyan odaya yerleşmeye ikna edersek, otele sonsuz sayıda müşteriyi yerleştirebiliriz. Mevcut müşteriler artık çift sayılı odalarda kalacaktır ve tek sayılı odalar da (bunların sayısı da sonsuz olacaktır) yeni gelenlere kalacaktır.

      2. Bölüm

      CANTOR İLE SAYMAK

      Galileo Galilei (1564-1642), gezegenimizin Güneş’in etrafında döndüğüne dair kâfir inancından dolayı İtalya’da ev hapsindeyken Galileo paradoksu olarak bilinen hoş bir bulmaca ortaya atmıştır.

      Bulmacaya göre bazı doğal sayılar mükemmel kareyken (bkz. Sayfa 15) çoğu değildir ve bu yüzden de kare olmayanların sayısı karelerden daha fazla olmalıdır. Ancak her doğal sayının mükemmel bir kare oluşturmak üzere karesi alınabilir. Dolayısıyla karelerin sayısı, doğal sayıların sayısına eşit olmalıdır. Bu da bir paradokstur; yani aynı anda ikisinin birden doğru olamayacağı iki mantıklı önerme sözkonusudur.

      Daha önce de belirttiğim gibi sayı kuramcıları sonsuzluğun doğası ve onun tuhaf aritmetiğini ele alırlar. Sonsuz Matematik Hayvanat Bahçesi’ni gözden geçirirken kullandığımız şey olan kümeler kuramı Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından icat edilmiştir. Aslında farklı türlerde sonsuzluk olduğunu bulmuştur. Kümelerin niceliği üzerinde çalışmıştır. Bu da kümenin kaç tane üyesi olduğu anlamına gelir. Örneğin, A kümesini Güneş sisteminin gezegenleri olarak tanımlarsam A kümesinin niceliği sekiz olur (Plüton’un neden artık bir gezegen olmadığına dair daha fazla bilgi için bkz. sayfa 132).

      Cantor, sonsuz kümeleri de incelemiştir. Doğal sayılar sonsuzdur ancak Cantor bunların sayılabilir sonsuz olduğunu söyler; çünkü birden yukarı doğru saydıkça sonsuza doğru hareket eder ve ilerleme kaydederiz. Asla sonsuzluğa varamayız ancak ona yaklaşabiliriz. Cantor doğal sayılar kümesinin bir alef sıfır ya da (alef, İbrani alfabesinin ilk harfidir) niceliğine sahip olduğunu belirtmiştir. İlerleme kaydettiğiniz diğer her sayı kümesinin niceliği de olur. Bu sebeple doğal sayılara negatif tam sayıları eklersem, onları da sayarak ilerleme kaydedeceğimden tam sayılar kümesi de niceliğine sahip olur.

      Şayet kümem sıfırdan bire kadar tüm rasyonel sayılar olsaydı sıfırdan başlayabilir ve bire kadar giden bütün kesirleri ele almaya çalışabilirdim. Bu kesirler için tüm olası paydaları ele alırsam yine doğal sayıları elde ederim. Kesirlerin payları da ayrıca doğal sayıların çeşitli kısımları olacaktı ve sıfırdan bire kadar olan rasyonel sayılar bile niceliğine sahip olurdu. Bu durum bütün rasyonel sayılar kümesinin de niceliğine sahip olduğunu gösterecek biçimde genişletilebilir.

      Galileo’nun paradoksuna geri dönecek olursak doğal sayılar kümesi ile mükemmel kare sayılar kümesinin her ikisinin de niceliğine sahip olduğunu ve bu yüzden de aslında aynı büyüklükte olduklarını anlayabiliriz. Artık durum bir paradoks değildir. Teşekkürler Cantor!

      Gerçekte niceliğine sahip kümeler, her ne kadar bu liste sonsuz derecede uzun olsa da, düzenli biçimde listelenebilir. Cantor, irrasyonel sayıları incelediğinde düzenli olarak listelenemeyen kümelerin olduğunu akıl edebildi. Onun köşegen argümanı şayet tüm irrasyonel sayıları ondalık sayı olarak yazarsanız, yazdığınız sayılardan yeni bir irrasyonel sayı yaratabileceğinizi göstermektedir. Bunu kümeye eklediğinizde yeni kümeden yeni bir irrasyonel yaratabilirsiniz. Bu döngü asla tüm irrasyonel sayıları düzenli biçimde listeleyemeyeceğiniz anlamına gelir çünkü sürekli hariç bırakılanlar olduğunu keşfedersiniz. Cantor bu gibi kümelerin sayılamayacak derecede sonsuz olduklarını ve niceliklerinin de olduğunu belirtmiştir.

      Cantor