Введение в теорию риска (динамических систем). В. Б. Живетин

, P), где Ω – пространство исходов или пространство элементарных событий, множества А из  – события, а P(A) – вероятность события А.

      Базовой основой аксиоматической теории вероятностей служат теория множеств и теория меры. Структура построенных нами вероятностных пространств должна исчерпывать структуру процессов и полей, порожденных динамической системой, для исследования которых создано пространство. Наиболее трудный этап – установление связи между структурой процессов и структурой моделей самой динамической системы, сформировавшими эти процессы.

      При построении стохастических математических моделей для математического описания физических объектов используются два принципа [44]:

      – аксиоматический А.Н. Колмогорова A*₁, априори вводимых моделей;

      – статистический фон Мизеса A*₂, апостериори вводимых моделей.

      Подход A*₁ имеет в основе макромир, идет от него к микромиру методом дедукции; подход A*₂ имеет в основе микромир, идет от него к макромиру (методом индукции).

      Эти подходы могут соединиться через структуру макромира, содержащую подсистемы микромира. Объединить эти два подхода может единая структура математической модели динамических систем. При этом A*₁ идет сверху вниз, а A*₂ – снизу вверх при изучении одной и той же динамической системы. Часто их пути расходятся: изучая одну и ту же динамическую систему, они приходят к различным конечным структурам моделей динамических систем.

      Согласно сказанному, рассмотрим вероятностную модель, вероятностное пространство эксперимента с конечным пространством исходов. В результате изучения подхода, созданного Колмогоровым, получена система и осуществлен структурно-функциональный синтез вероятностной модели Колмогорова, представленный на рис. 1.27.

      Рис. 1.27

      На рис. 1.27 обозначено: ω – исходы динамической системы; Ω(ω) – множество исходов; М₀ – модель изучаемой динамической модели (фактическая модель); M*₀ – модель М на множестве исходов; M*₁ – модель М на алгебре подмножеств; M₁ – модель, созданная в результате синтеза и анализа множества Ω(ω), в результате чего мы ввели меру Р или в общем случае (Ω, А, Р), т. е. создали искомую модель М₁.

      С целью анализа статистического подхода, созданного фон Мизесом, на рис. 1.28 схематично представлена взаимосвязь и различие на структурно-функциональном уровне рассматриваемых принципов построения математических моделей. Здесь случайные внешние факторы обозначены как W, W₁, W₂.

      Рис. 1.28

      Исходная ситуация в подходе Колмогорова обусловлена наличием структуры Σ, а функциональные свойства Ф_ст получены по материалам статистических испытаний. Исходная ситуация в подходе фон Мизеса обусловлена отсутствием структуры Σ, а функциональные свойства Φ получены по материалам статистических испытаний (Σ_ст, Ф_ст).

      В качестве меры отличия моделей M₀,