Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie. James J. Keeler

im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir für Helium pkrit = 2,26 atm und Tkrit = 5,21 K. Also ist

      L1.3.9a Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung in Abhängigkeit vom molaren Volumen ist in Gl. (1.27b) gegeben, . Wir lösen nach b auf und erhalten

      Einsetzen der Werte ergibt

Dabei haben wir 1 Pa = 1 kg m⁻¹ s⁻² und 1 J = 1 kg m² s⁻² verwendet.

      Der Kompressionsfaktor Z ist in Gl. (1.23) als definiert, wobei V_m das tatsächliche Molvolumen ist und das Molvolumen des idealen Gases unter den gleichen Bedingungen. Dieses Volumen berechnen wir aus der Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (1.4), gemäß . Für den Kompressionsfaktor gilt Z = pV_m/RT (Gl. (1.24)). Einsetzen der Werte ergibt

      Schwerere Aufgaben

      S1.3.1 Die Virialgleichung ist in Gl. (1.25b) gegeben, pV_m = RT(1 + B/V_m + …). Aus Tab. 1.4 im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir für N₂ bei 273 K den zweiten Virialkoeffizienten B = −10,5 cm³ mol⁻¹. Die Molmasse von Stickstoff ist M(N₂) = 2 × 14,01 gmol⁻¹ = 28,02 g mol⁻¹, daher ist das molare Volumen der Gasprobe

      Mithilfe dieses Wertes und der Virialgleichung können wir nun den Druck berechnen. Es ist nützlich, für die Gaskonstante R = 8,2057 × 10⁻² dm³ atm K⁻¹ mol⁻¹ zu verwenden und die Volumina in der Einheit dm³ anzugeben. Wir erhalten

      S1.3.3 Die Virialgleichung (Gl. (1.25b)) lautet . Der Kompressionsfaktor Z ist in Gl. (1.23) als definiert, wobei V_m das tatsächliche molare Volumen ist und das molare Volumen des idealen Gases unter den gleichen Bedingungen; es gilt .

      Daraus folgt

      und somit für den Kompressionsfaktor

      Um diesen Ausdruck zu evaluieren, verwenden wir näherungsweise das molare Volumen des idealen Gases unter den gleichen Bedingungen für das molare Volumen des realen Gases; wir erhalten

      Diesen Wert für das molare Volumen verwenden wir nun zur Berechnung des Kompressionsfaktors Z; beachten Sie, dass wir hierzu alle Volumina in die Einheit dm³ umgerechnet haben:

Das molare Volumen können wir nun mithilfe des Kompressionsfaktors berechnen:

      und somit

      S1.3.5‡ In Abschn. 1.3.1b des Lehrbuchs haben wir erklärt, dass bei der Boyle-Temperatur Z = 1 und dZ/dp = 0 ist; die letztgenannte Bedingung ergibt sich daraus, dass der zweite Virialkoeffizient B bei dieser Temperatur null wird: B = 0. Die Boyle-Temperatur lässt sich ermitteln, indem wir den Ausdruck für B(T) gleich null setzen und nach T auflösen:

      Durch Logarithmieren erhalten wir ln(−a/b) = −c/T² und somit durch Einsetzen der Werte für die Boyle-Temperatur von Methan

       S1.3.7

      1 (a) Die Molmasse von H2O istM(H2O) = 18,02 g mol−1. Die Dichte p hängt mit der molaren Dichte ρm über ρm = ρ/M zusammen, und das molare Volumen Vm entspricht dem Kehrwehrt dieser Größe, Vm = 1/ρm=M/ρ.Das molare Volumen des Wasserdampfs ist also 0,1353 dm3 mol−1.

      2 (b) Der Kompressionsfaktor Z ist durch Gl. (1.24), Z =pVm/RT, gegeben. Einsetzen der Werte sowie des molaren Volumens Vm aus Teilaufgabe (a) liefert

      3 (c) Die Virialgleichung (bis einschließlich des zweiten Terms) in Abhängigkeit vom molaren Volumen ist durch Gl. (1.25b) gegeben:Nach Division durch p auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sichDie Größe RT/p identifizieren wir als das molare Volumen eines idealen Gases, , und damit folgtIn der Lösung zu Aufgabe L1.3.7a haben wir gezeigt, dass der Virialkoeffizient B mit den Van-der-Waals-Koeffizienten a und b über B = b − a/RT zusammenhängt. Diese Beziehung verwenden wir nun zur Bestimmung von B, und das Ergebnis zur Berechnung des Kompressionsfaktors Z:

      S1.3.9 Gemäß Tab. 1.7 des Lehrbuchs sind die kritischen Größen für die Dieterici-Zustandsgleichung durch

      gegeben. Aus Tab. 1.5 im Anhang des Lehrbuchs entnehmen wir die folgenden Werte für Xenon: T_krit = 289,75 K, p_krit = 58,0 atm, V_krit = 118,8 cm³ mol⁻¹. Den Koeffizienten b können wir direkt mithilfe des Wertes von V_krit berechnen,

      Nun Kombinieren wir die Ausdrücke für p_krit und V_krit, um b zu eliminieren,

      Durch Umstellen dieser Beziehung lässt sich nun der Koeffizient a berechnen,

      Alternativ dazu können wir auch die Ausdrücke für T_krit und V_krit kombinieren, um b zu eliminieren,