Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie. James J. Keeler

−1,528 100 180 3,24 0,015 −4,200 0,119 −2,129 120 216 4,67 0,002 −6,215 0,057 −2,865

Abb. 1.4

      Die Wertepaare liegen für die beiden untersuchten Temperaturen jeweils auf einer Geraden, mit einer Steigung von −1,33 bei 40 K bzw. −0,516 bei 100 K.

      Um zu überprüfen, ob diese Daten durch eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben werden können, berechnen wir die theoretisch erwartete Steigung bei 40 K:

      wobei wir R = N_Ak verwendet haben. Die erwartete Steigung ist daher −1,26, in recht guter Übereinstimmung mit dem experimentellen Wert.

      Bei 100 K ist die theoretisch erwartete Steigung

      Wir sehen, dass auch in diesem Fall die theoretisch berechnete Steigung von −0,504 in guter Übereinstimmung zum experimentell ermittelten Wert steht.

      S1.2.3 Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung für eindimensionale Systeme ist durch Gl. (1.11) gegeben,

      Zunächst formulieren wir unter Verwendung von Gl. (1.14), , einen Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit. Im hier vorliegenden Fall ist dies

      Zur Lösung des Integrals greifen wir auf das Standardintegral G2 aus dem Anhang des Lehrbuchs zurück:

      Mit a = m/2kT ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit

Nachdem der Molekularstrahl den Selektor passiert hat, ist f (vx) gleich null für alle vx > c̄ (Gasmoleküle mit diesen Geschwindigkeiten werden nicht durchgelassen). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird dadurch verändert, und wir müssen die Funktion erneut normieren, sodass

      gilt. Dieses Integral lässt sich am einfachsten mithilfe mathematischer Software lösen; als Ergebnis erhalten wir

      wobei erf(x) die Fehlerfunktion ist. Die neu normierte Verteilungsfunktion lautet daher

      Auf dieser Grundlage lässt sich die neue mittlere Geschwindigkeit berechnen; auch in diesem Fall ist es hilfreich, hierfür mathematische Software zu nutzen. Beachten Sie, dass die mittlere Geschwindigkeit c̄ als neue obere Integrationsgrenze verwendet wird. Für die neue mittlere Geschwindigkeit erhalten wir

      Die numerische Lösung der Fehlerfunktion lautet

      S1.2.5 Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung für dreidimensionale Systeme ist durch Gl. (1.12) gegeben,

      wobei M die Molmasse ist. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist durch Gl. (1.18) gegeben, c* = (2RT/M)^1/2. Wenn das Intervall der Geschwindigkeiten Δv eng ist, entspricht der Anteil der Moleküle, deren Geschwindigkeiten in einem Bereich mit dem Zentrum bei c* liegen, in guter Näherung f (c*)Δv. Der gesuchte Anteil an Molekülen, deren Geschwindigkeiten in einem Bereich Δv mit dem Zentrum bei n × c* liegen, ist somit durch

gegeben. Bei der Bildung des Verhältnisses kürzen sich sämtliche Terme in f(v) heraus, die Multiplikatoren der Exponentialfunktion sind, mit Ausnahme von v². Wenn wir in diesem Ausdruck die Größe c* durch (2RT/M)^1/2 ersetzen (d.h., wenn wir Gl. (1.18) einsetzen), erhalten wir schließlich ein übersichtlicheres Ergebnis:

      Für n = 3 liefert dieser Ausdruck 3,02 × 10−3, und für n = 4 erhalten wir 4,89 × 10−6. Anhand dieser Zahlenwerte können wir erkennen, dass nur sehr wenige Moleküle ein Vielfaches der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit c* besitzen.

      S1.2.7 Damit ein Objekt (egal, ob es sich um ein Raumschiff oder um ein Molekül handelt) die Gravitation der Erde überwinden kann, muss es eine hinreichend große kinetische Energie besitzen; der Betrag der Energie muss mindestens der gravitationsbedingten potenziellen Energie des Objektes an der Erdoberfläche entsprechen. Das Gravitationspotenzial zwischen zwei Objekten mit den Massen m₁ und m₂, die sich im Abstand r zueinander befinden, ist

      wobei G die (universelle) Gravitationskonstante ist. Für ein Objekt mit der Masse m an der Erdoberfläche ist das Gravitationspotenzial durch

      gegeben, wobei wir hier mit M die Masse der Erde und mit R den Radius unseres Planeten bezeichnen. Anhand dieses Ausdrucks können wir erkennen, dass das Potenzial an der Erdoberfläche gleich groß ist wie im imaginären Fall, wenn die Masse der Erde an einem Punkt im Abstand ihres Radius konzentriert wäre.

      Während sich eine Masse von der Erdoberfläche entfernt, nimmt ihre potenzielle Energie stetig zu, d. h. sie wird weniger negativ; bei sehr großen Distanzen geht sie schließlich gegen null. Diese Änderung der potenziellen Energie muss vollständig in kinetische Energie umgewandelt werden, damit eine Masse die Gravitation überwinden kann. Eine Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, besitzt die kinetische Energie ; diese Geschwindigkeit entspricht der Fluchtgeschwindigkeit v_e wenn