Arbeitsbuch zu Atkins, de Paula, Keeler Physikalische Chemie. James J. Keeler

; diese Geschwindigkeit entspricht der Fluchtgeschwindigkeit v_e, wenn

(G1.3)

gilt. Der Term unter der Quadratwurzel hängt folgendermaßen mit der Beschleunigung des freien Falls, g, zusammen: Eine Masse m an der Erdoberfläche erfährt aufgrund der Gravitation eine Kraft, die GMm/R² entspricht. (Beachten Sie, dass diese Kraft proportional zu R⁻² ist.) Diese Kraft beschleunigt die Masse in Richtung Erdoberfläche, und wir schreiben dafür (wie gewohnt) F = mg. Wenn wir diese beiden Ausdrücke für die Kraft gleichsetzen, erhalten wir

      Wenn wir den Ausdruck für GM/R in die Beziehung für v_e aus Gl. (G1.3) einsetzen, erhalten wir

      Wir sehen, dass die Fluchtgeschwindigkeit v_e sowohl eine Funktion des Erdradius R als auch der Beschleunigung des freien Falls g ist.

      Der Radius der Erde ist R = 6,37 × 10⁶ m und g = 9,81 m s⁻², daher ist die Fluchtgeschwindigkeit v_e = 1,12 × 10⁴ m s⁻¹. Zum Vergleich: die mittlere Geschwindigkeit von He bei 298 K ist 1300 m s⁻¹, und für N₂ beträgt sie 475 m s⁻¹. Im Falle von Helium können nur solche Atome die Atmosphäre verlassen, die sich mit dem Achtfachen der mittleren Geschwindigkeit bewegen; im Falle von N₂ müssen sich die Moleküle sogar zwanzigmal so schnell bewegen. Der Anteil der Moleküle, die sich mit einem Vielfachen der mittleren Geschwindigkeit bewegen, in generell äußerst gering, und weil sich dieser Anteil proportional zu e^−v2 verhält, wird er bei noch höheren Geschwindigkeiten rapide noch einmal kleiner. Ein winziger Anteil der He-Atome wird die Erdatmosphäre durchaus verlassen können, aber der Anteil noch schwererer Moleküle ist vernachlässigbar klein.

      Leichte Aufgaben

       L1.2.1a

      1 (i) Die mittlere Geschwindigkeit ist in Gl. (1.17) definiert als , also ist . Das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeiten hängt daher vom Verhältnis der Molmassen ab:

      2 (ii) Die mittlere kinetische Energie der Translation ist , wobei 〈v2〉 der Mittelwert des Quadrats der Geschwindigkeit ist; dieser ist in Gl. (1.15) mit 〈v2〉 = 3RT/M angegeben. Die mittlere kinetische Translationsenergie ergibt sich daher gemäßDie Molmasse M hängt mit der Masse m eines einzelnen Moleküls über M = mNA zusammen, wobei NA die Avogadro-Konstante ist. Für die Gaskonstante R können wir auch R = kNA schreiben, und somit giltWir erkennen, dass die mittlere kinetische Translationsenergie von der Identität des Gases unabhängig ist und ausschließlich von der Temperatur abhängt, d. h. sie ist für H2 und Hg identisch.Dieses Ergebnis steht im Zusammenhang mit dem Gleichverteilungssatz der Energie: ein Molekül besitzt drei Freiheitsgrade der Translation (x, y, und z), und jeder dieser Freiheitsgrade trägt zur mittleren Energie bei.

L1.2.2a Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit c ist durch Gl. (1.16) gegeben, c = (3RT/M)^1/2. Für H₂-Moleküle bei 20 °C erhalten wir

      wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² verwendet und die Molmasse in kg mol⁻¹ angegeben haben.

      Für O₂-Moleküle erhalten wir bei der gleichen Temperatur

      L1.2.3a Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung, f(v), ist durch Gl. (1.12) gegeben. Der Anteil der Moleküle mit Geschwindigkeiten zwischen v₁ und v₂ ist durch das Integral

      gegeben. Wenn der betrachtete Bereich v₂ − v₁ = δv klein ist, wird die Lösung des Integrals in guter Näherung durch

      wiedergegeben, wobei v_mittel der mittlere Wert des angegebenen Geschwindigkeitsbereichs ist: .

      Im vorliegenden Fall ist v_mittel = 205 m s⁻¹ und δv = 10 ms⁻¹. Der Anteil der N₂-Moleküle, die Geschwindigkeiten innerhalb des angegebenen Bereichs besitzen, ist daher

      wobei wir 1 J = 1 kg m² s⁻² verwendet haben. Dies bedeutet, dass sich 0,687 % der Moleküle mit Geschwindigkeiten innerhalb des angegebenen Bereichs bewegen.

      L1.2.4a Die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier verschiedener Moleküle in einem (idealen) Gas ist durch Gl. (1.19b) gegeben: , wobei μ = m_Am_B/(m_A + m_B) die reduzierte (effektive) Masse ist. Durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit der Avogadro-Konstante N_A und Substitution von N_Ak = R erhalten wir

      wobei N_Aμ die molare reduzierte (effektive) Masse ist. Für die relative Bewegung von N₂- und H₂-Molekülen finden wir

und somit für die mittlere Relativgeschwindigkeit

      Der Wert für die reduzierte (effektive) Masse μ wird von dem leichteren Molekül dominiert; im vorliegenden Fall ist dies H₂.

      L1.2.5a Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist durch Gl. (1.18), c* = (2RT/M)^1/2, die mittlere Geschwindigkeit ist durch Gl. (1.17),, und die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse ist durch Gl. (1.19a), , gegeben. Die molare Masse von Kohlendioxid ist M(CO₂) = 12,01 + 2 × 16,00 = 44,01 g mol⁻¹.

      1 (i) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

      2 (ii) Die mittlere Geschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

      3 (iii) Die mittlere Relativgeschwindigkeit von CO2-Molekülen bei 20 °C ist

      L1.2.6a Die Stoßzahl z ist in Gl. (1.20b) mit definiert, wobei die mittlere Relativgeschwindigkeit zweier Moleküle der gleichen Masse durch Gl. (1.19a), ,