En sayos analíticos. Alberto Moretti

segunda versión de la paradoja resulta de preguntarse si la función proposicional ser una función proposicional que no se autoaplica se aplica o no se aplica a sí misma. Una contradicción espera en ambos casos. Pero, otra vez, el desenlace depende de cuál sea la forma lógica de afirmaciones como “La función G se aplica a la función F” (con simbología habitual “G(F)”). La paradoja del mentiroso, por otra parte, queda planteada por oraciones comunes del tipo “Esta oración es falsa” que también parecen acarrear contradicciones. Pero ¿cuál es la forma profunda de una oración como “La oración P es falsa” (su forma genuina o, al menos, integrable a un análisis consistente del lenguaje al que pertenece)?

La teoría simple de los tipos, de 1903, y la teoría ramificada de los tipos presentada en 1908 y desarrollada en PM, solucionan la versión sobre clases de la paradoja de Russell. Más aún, luego de adoptada en general la teoría de las descripciones (Russell, 1905), su aplicación a los nombres de clase los hace desaparecer, como primitivos del lenguaje, en favor de las funciones proposicionales y con ello disuelve el problema de esa paradoja. Estas funciones, ya recordamos, también presentan una dificultad similar pero, nuevamente, las teorías simple o ramificada de los tipos lo resuelven. La teoría ramificada, además, es suficiente para solucionar las paradojas del tipo de la del mentiroso¹¹. Observemos algunos detalles.

      Apelando a consideraciones metafísicas (lógico-metafísicas) que no se originaron en el intento de evitar estas paradojas y que fueron iniciadas por Platón y Aristóteles, Russell se convenció de que toda función proposicional (por ejemplo “x es impar” o “x es pariente de y”) tiene un rango de significación, y que cada rango forma un tipo. Es decir, para cada función tal hay asociada una totalidad formada por los objetos a los que la función puede aplicarse significativamente, totalidad que podrá verse como una clase pero que nunca podrá ser una clase universal. Leemos (Russell, 1908: p. 161; MLBTT, en adelante):

      […] si la función deja de ser significativa cuando la variable cae fuera de cierto rango, entonces, ipso facto, la variable queda confinada a ese rango, sin necesidad de establecerlo explícitamente. […] “todo hombre es mortal” significa […] “Si x es un hombre, x es mortal, para todos los valores de la función ‘si x es un hombre, x es mortal’”. Esta es una limitación interna sobre x, dada por la naturaleza de la función; y es una limitación que no requiere ser explícitamente enunciada, porque es imposible que una función sea verdadera con más generalidad que la determinada por todos sus valores.

      Esta opinión se opone directamente a lo que Frege pensaba es un principio lógico: que todo objeto es capaz de saturar cualquier función de primer nivel y, consecuentemente, de todo objeto es verdadero o falso que pertenece a la extensión de la función. Lo que, en términos russellianos, equivale a sostener que el rango de toda función proposicional que sea aplicable a objetos es la totalidad de los objetos. Principio que aparentemente el propio Russell había adoptado en su libro de 1903, donde dice que las variables “[…] tienen un rango absolutamente irrestricto”. Desde este nuevo punto de vista resulta que ningún miembro de un tipo pertenece a otro tipo y, en consecuencia, la pertenencia es una relación entre objetos de diferente tipo (de diferencia mínima entre sí). Por ende la precisa forma lógica de “F ∈ G” es “La entidad F, de tipo n, pertenece a la entidad G, de tipo n+1”; en simbología usual: “Fⁿ ∈ Gⁿ⁺¹”. Y de ese modo no puede formularse la afirmación paradójica.

      El planteo global de la cuestión de las paradojas presentado en PM (desarrollando tesis russellianas expuestas entre 1903 y 1908), junto con algunas de sus consecuencias, puede resumirse como sigue:

      1. Un diagnóstico común. Todas las paradojas (conocidas hasta ese momento) derivan de la violación de un principio general contra la formación de círculos viciosos: toda entidad cuya existencia presuponga la totalidad de una colección de entidades no puede ser una de las entidades de esa colección. Violar este principio es caer en impredicatividad (error que implica presuponer ya definida x al definir x).

2. Toda función proposicional presupone la existencia de la totalidad de sus valores. Porque todos los valores de una función φx tienen que ser entidades bien determinadas, pero si, por ejemplo, la buena determinación de φa requiere que φx esté determinada, entonces φa no puede ser un valor de φx.¹² Por tanto,

      3. Para toda función proposicional hay argumentos para los que la función no está definida (contra Frege). Y,

      4. ‘φ(φx)’ no tiene sentido. Esto excluye la paradoja derivada de la presunta propiedad de ser una propiedad que no se autoaplica (el análogo intensional de la paradoja de Russell sobre clases).

5. La restricción impuesta por el principio contra círculos viciosos también parece implicar lo siguiente. Considérese la función de x definida como (φ) F(φ,x). Una función como esta es un ejemplo de función de primer tipo (porque sus únicos argumentos, los valores de ‘x’, son individuos) pero de segundo orden (porque involucra una variable, ‘φ’, cuyos valores son funciones de primer orden). Puesto que esta función presupone la totalidad de los valores de φ, ella no puede ser uno de estos valores. Por lo tanto, la totalidad de las funciones de x recorridas por φ no puede ser la totalidad de las funciones de x. Por tanto, no existe la totalidad de las funciones de x.¹³ Esto excluye las paradojas semánticas del tipo de las de Berry, Richard o del mentiroso. Tomemos el caso del mentiroso: la oración “Esta oración es falsa” utiliza la función “es falsa”, función que supone una totalidad de oraciones como sus argumentos, pero entre los que no puede estar la oración “Esta oración es falsa”. Porque la significatividad de “Esta oración es falsa” requiere que esté determinada la totalidad de los argumentos del predicado “es falsa”, que la compone, “antes” (conceptualmente antes) de que “Esta oración es falsa” adquiera significatividad. Explica Russell:

      Cuando un hombre dice “Estoy mintiendo” debemos interpretarlo como queriendo decir: “Hay una proposición de orden n que estoy afirmando y que es falsa”. Esta es una proposición de orden n+1 [porque involucra una cuantificación sobre una totalidad de proposiciones de cierto tipo, n]; por tanto, el hombre no está afirmando ninguna proposición de orden n, por tanto su enunciado es falso, pero la falsedad de este enunciado no implica que esté haciendo un enunciado verdadero, a diferencia de la falsedad de “Estoy mintiendo” que parecía hacerlo. Esto soluciona la paradoja del mentiroso. (MLBTT)

      6. Sin embargo, las restricciones impuestas por el principio adoptado impiden la demostración de afirmaciones matemáticas que se consideran verdades fundamentales, como el teorema de que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene una cota superior mínima, e impiden, en general, legitimar numerosos conceptos usuales cuya definición es impredicativa. Entonces,

      7. Para lograr la demostración de teoremas como ese, PM incorpora un axioma que no se había pensado antes, el Axioma de Reducibilidad, que asegura que siempre habrá una función predicativa satisfecha por los mismos valores que satisfagan una función dada. Simbólicamente (F)(∃G)(x)[Fx⟺G!x]. Donde G!x es una función predicativa, lo que implica que es del orden más bajo compatible con el orden de los argumentos que tiene (i. e.: no presupone ninguna otra totalidad distinta de la totalidad de sus argumentos o de las totalidades que sus argumentos presupongan).

      8. Por otra parte, la teoría de tipos impide definir una infinitud de números del modo como Frege había enseñado. Porque: sea 0 el conjunto de todos los conjuntos equivalentes al determinado por la función x ≠ x, y 1 el conjunto de todos los conjuntos equivalentes al conjunto {0}. Entonces 1 es de un tipo más alto que 0 y, en consecuencia, no existe ningún conjunto que los tenga a ambos como elementos, por tanto no existe 2, si se quisiera que 2, a la manera de Frege, fuera el conjunto de todos los conjuntos equivalentes a, precisamente, {0,1}. De modo que,

      9. Para lograr que haya infinitos números, PM postula (en cada nivel de la jerarquía de tipos) otro axioma adicional, el Axioma de Infinitud. Por ejemplo: existen infinitas entidades de tipo 0.

      10. La paradoja de