En sayos analíticos. Alberto Moretti

y el desarrollo de la metáfora del círculo vicioso.

      Acerca de las aportaciones de cada uno y del modo en que ambos autores trabajaron en la redacción de Principia Mathematica, Russell (1959) escribió:

      Whitehead me confió los problemas filosóficos. En cuanto a los problemas matemáticos, Whitehead inventó la mayor parte de la notación, excepto la parte que fue tomada de Peano; yo realicé la mayor parte del trabajo relacionado con las series y Whitehead hizo la mayor parte del resto. Esto sólo se refiere a los primeros borradores. Cada una de las partes fue escrita por completo tres veces. Cuando uno de nosotros producía un primer borrador, se lo enviaba al otro y este, usualmente, lo modificaba considerablemente. Después, quien había hecho el primer borrador le daba la forma final. Es difícil que haya alguna línea en los tres volúmenes que no sea producto de ambos.

      El resultado fue un formidable ejemplo de análisis filosófico, en un sentido que pasará a ser característico de la “filosofía analítica”, y cuyos “momentos” podemos resumir del siguiente modo: (1) Paráfrasis: hallar la forma lógica correcta de las afirmaciones del corpus teórico que se esté examinando. En el caso de PM, son las afirmaciones de la aritmética y del análisis matemático las que importan. Su examen condujo a la teoría de tipos, para evitar las paradojas semánticas y la versión intensional de la paradoja de Russell, y a la teoría de las descripciones, para eliminar los nombres de clase y, con eso, evitar la paradoja de Russell sobre las clases; (2) Descomposición: análisis de los conceptos componentes de las paráfrasis alcanzadas en el paso anterior en conceptos más básicos, ejemplificado por las definiciones de conceptos aritméticos a partir de conceptos lógicos; (3) Fundamentación: búsqueda de principios explicativos de las verdades analizadas, esto es, de principios que rigen las relaciones entre los conceptos básicos proporcionados en el paso anterior, ejemplificado por la adopción de axiomas y reglas para la lógica cuantificacional elemental junto con otros axiomas pretendidamente lógicos. Es claro que, en general, el procedimiento es iterable. Dicen Russell y Whitehead:

      […] dos tareas opuestas […] tienen que realizarse concurrentemente. Por una parte, tenemos que analizar la matemática que existe, con la intención de descubrir qué premisas se emplean, si esas premisas son mutuamente consistentes, y si son pasibles de reducción a premisas más fundamentales. Por otra parte, una vez que hemos decidido cuáles serán nuestras premisas, tenemos que reconstruir tanto como parezca necesario de los datos previamente analizados […] No sostenemos que el análisis no podría llevarse más lejos: no tenemos motivo para suponer que es imposible encontrar ideas y axiomas más simples por medio de los cuales podríamos definir y demostrar aquellos con los que empezamos. Todo lo que afirmamos es que las ideas y axiomas con los que partimos son suficientes, no que sean necesarios. (PM, v-vi)

      Pero también dicen:

      […] la razón principal en favor de una teoría acerca de los principios de la matemática siempre ha de ser inductiva, i. e. debe residir en el hecho de que la teoría en cuestión nos permite deducir la matemática ordinaria. […] las primeras deducciones [las que parten de las premisas elegidas], cuando llegan a este punto [el punto en que implican las verdades matemáticas ordinarias, esto es, el “punto de la mayor auto-evidencia”], dan razones, más para creer en las premisas porque implican consecuencias verdaderas, que para creer esas consecuencias porque se siguen de las premisas. (PM, v)

      Esto indica que la tarea analítica anterior se completaba con un momento que cabe llamar sintético: (4) Deducción de las verdades aritméticas y solución de problemas de fundamentos, tales como las paradojas, a partir de esos principios. En este último estadio, el corpus de las verdades aritméticas y del análisis matemático actúa como lo que, tiempo después, será calificado como el núcleo del “criterio de adecuación” del análisis propuesto en la fase propiamente analítica (Carnap, 1950). Precisamente, fueron las dificultades encontradas para “sintetizar” todo ese corpus lo que condujo a los autores de PM a agregar el axioma de reducibilidad y el axioma de infinitud a la lista inicialmente propuesta. Más tarde dirá Russell (1914a: p. 214; OKEW, en adelante):

      Ahora podemos establecer en términos generales la naturaleza del análisis filosófico […]. Comenzamos con un cuerpo de conocimiento común, que constituye nuestros datos. Bajo examen, los datos resultan complejos, bastante vagos y en gran medida lógicamente interdependientes. Mediante análisis los reducimos, tanto como podamos, a proposiciones más simples y precisas, y las disponemos en cadenas deductivas en las cuales cierto número de proposiciones iniciales ofrecen una garantía lógica para todas las demás.

      Esta “garantía lógica” alude a una relación de fundamentación objetiva y no implica, como se advierte tomando en cuenta la cita anterior, una mayor certidumbre psicológica.

Ese propósito de “sintetizar”, a partir del resultado del análisis efectuado, todas las verdades aritméticas, prefigura el problema general de establecer la compleción de un sistema axiomático relativamente a un conjunto determinado de verdades. Para el sistema axiomático de PM este problema fue solucionado afirmativamente, respecto de las tautologías, por Post en 1920 y, respecto de las verdades lógicas elementales, por Gödel en 1930. Pero en 1931, para sorpresa de muchos, Gödel mostró que el sistema axiomático de PM, y cualquier otro sistema esencialmente similar,⁹ es necesariamente incompleto respecto de la totalidad de las verdades aritméticas.

Cuando se presupone que las leyes aritméticas son verdaderas y derivadas de los axiomas de Peano, y que las leyes lógicas son verdades acerca de todas las proposiciones, funciones proposicionales y objetos, mostrar la derivación de las primeras a partir de las segundas no plantea el problema de la consistencia del sistema deductivo. Tampoco hay motivo para que sea seria la cuestión de si el sistema es suficiente para “sintetizar” todas las verdades aritméticas. Una consecuencia del teorema de Gödel que prueba la existencia de verdades aritméticas indemostrables en PM fue la urgencia por enfrentar esos problemas. En la obra de Russell, como antes en la de Frege y luego en la del primer Wittgenstein, las consideraciones que motivan la construcción del lenguaje en el que se formula el sistema que se propone como análisis de la aritmética y de los conceptos aritméticos (y, en general, de todo conocimiento), no son vistas como una teoría que estuviera sometida también a escrutinio. Su cometido parece ser, solamente, poner ante nosotros un lenguaje claro, o clarificar el modo adecuado de usar con fines cognoscitivos el lenguaje que tenemos. El resultado de Gödel, y los métodos que condujeron a él, dieron impulso a la idea (discutible) de que es necesario construir genuinas teorías acerca de los lenguajes utilizados para el análisis filosófico, teorías que escindan, por un lado la estructura sintáctica de ese lenguaje y, por otro, su capacidad referencial. Teorías que han de recurrir a un lenguaje diferente de aquel que las motiva. Poniendo, de este modo, seriamente en cuestión el propósito de encontrar un lenguaje único para la expresión de todo el conocimiento (un lenguaje donde fuesen formulables todas las teorías). Aunque aquel resultado es un enorme obstáculo para el proyecto conjunto del logicismo y el constructivismo estrictos¹⁰, no afecta la índole del método analítico empleado en PM, algunos de cuyos frutos recordaremos a continuación.

      III

      Un modo de apreciar la importancia que puede revestir el análisis de la forma lógica de las oraciones y, consecuentemente, de sus predicados componentes, se tiene al observar el tratamiento de las paradojas contenido en PM.

      La paradoja de Russell tiene una versión relativa a las clases y otra relativa a las funciones proposicionales (nociones descendientes, respectivamente, de las ideas fregeanas de extensiones conceptuales y conceptos). La primera se centra en lo que parece ser la definición de una clase posible: la clase de las clases que no son elementos de sí mismas. Si existe entonces, o bien pertenece a sí misma o no lo hace. En cualquier caso se llega a una contradicción (en los sistemas clásicos de lógica). La definición parece correcta pero, si tiene sentido, los conceptos de clase y de pertenecer a una clase son contradictorios. Sin embargo, según el modelo de análisis