Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности. Ласло Мерё

числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они – «настоящие» бесконечно малые числа – оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом[37]. В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

      Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа – интегрирование и дифференцирование – в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

      В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, – это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.

      Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, – например, машину времени, – то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.

      Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь

37

Robinson (1996).