ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА. Юрий Вениаминович Красков

и т.д. до числа «девять». Числа после 9 и до 99 складываются из десятков и единиц, например, 23=(10+10)+(1+1+1) и получают соответствующие имена: «десять», «одиннадцать», «двенадцать» … «девяносто девять». Числа после 99 складываются из сотен, десятков и единиц и т.д. Таким образом, имена только начальных чисел должны быть заранее сосчитаны из единиц. Все остальные числа именуются так, чтобы их величину можно было сосчитать, используя только начальные числа³⁹.

      3.2.2. Аксиомы действий

      Все арифметические действия входят составной частью в определение сущности числа. В компактном виде они представляются следующим образом:

      1. Сложение: n = (1+1…)+(1+1+1…) = (1+1+1+1+1…)

      2. Умножение: a+a+a+…+a=a×b=c

      3. Возведение в степень: a×a×a×…×a=a^b=c

      4. Вычитание: a+b=c → b=c−a

      5. Деление: a×b=c → b=c : a

      6. Логарифм: a^b = c → b=log_ac

      Отсюда можно сформулировать все нужные определения в виде аксиом.

      Аксиома 1. Действие сложения нескольких чисел (слагаемых) – это их соединение в одно число (сумму).

      Аксиома 2. Все арифметические действия являются либо сложением, либо производными от сложения.

      Аксиома 3. Существуют прямые и обратные арифметические действия.

      Аксиома 4. Прямые действия – это разновидности сложения. Кроме самого сложения к ним относятся также умножение и возведение в степень.

      Аксиома 5. Обратные действия – это вычисление аргументов функций. К ним относятся вычитание, деление и логарифм.

      Аксиома 6. Не существуют иные действия с числами, кроме комбинаций из шести арифметических действий⁴⁰.

      3.2.3. Базовые свойства чисел

      Следствием аксиом действий являются следующие базовые свойства чисел, обусловленные необходимостью практических вычислений:

      1. Наполнение: a+1>a

      2. Нейтральность единицы:      a×1=a:1=a

      3. Коммутативность: a+b=b+a; ab=ba

      4. Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)

      5. Дистрибутивность: (a+b)c=ac+bc

      6. Сопряженность:      a=c → a±b=b±c; ab=bc; a:b=c:b; a^b=c^b; log_ba= log_bc

      Эти свойства известны давным-давно как азы начальной школы и до сих пор они воспринимались как элементарные и очевидные. Отсутствие должного понимания происхождения этих свойств из сущности понятия числа стало причиной разрушения науки как целостной системы знаний, которую нужно теперь отстраивать, начиная с азов и сохраняя при этом всё то ценное, что осталось от настоящей науки. Приведённая выше аксиоматика исходит из определения сущности понятия числа и поэтому представляет собой единое целое. Однако этого недостаточно для того, чтобы оградить науку от другой напасти, т.е. чтобы в процессе развития она не утонула в океане собственных изысканий, или не запуталась в сложных переплетениях большого множества разных идей.

      В этом смысле нужно очень чётко понимать, что аксиомы не являются утверждениями, принятыми без доказательств. В отличие от теорем, они есть только констатации и ограничения,

39

Итак, считалка – это именованные начальные числа в готовом, (сосчитанном), виде, чтобы на их основе стало возможно, используя аналогичный метод, именовать также любые другие числа. Всё это, конечно, совсем не сложно, но почему же этому не учат в школе, а просто заставляют всё заучивать без объяснений? Ответ очень простой – потому что наука просто не знает, что есть число, а признаться в этом никак не может.

40

Аксиомы действий, которые до сих пор отдельно не выделялись, также являются прямым следствием определения сущности понятия числа. Они, как способствуют обучению, так и устанавливают определенную ответственность за обоснованность любых научных изысканий в области чисел. В этом смысле последняя 6-я аксиома выглядит даже слишком категоричной. Но без такого рода ограничений в систему знаний можно протаскивать любую тарабарщину и затем называть это «прорывом в науке».