Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

2.9 que el valor presente del documento es igual a cero al final del quinto período:

Tabla 2.9 Evolución del valor presente en el descuento comercial

Período	Capital al inicio	Descuento periódico	Valor presente
1	1,00	0,20	0,80
2	0,80	0,20	0,60
3	0,60	0,20	0,40
4	0,40	0,20	0,20
5	0,20	0,20	0,00

      Como en el régimen simple de descuento, este se calcula siempre sobre el valor final de la operación, el descuento periódico es constante. Las relaciones más importantes se analizan en la siguiente sección, para tratar luego el tiempo que tarda el descuento en anular el valor del documento.

Fórmulas derivadas del descuento comercial

      A continuación, se muestran las fórmulas utilizadas en las operaciones de descuento comercial, haciendo la salvedad de que d es una tasa efectiva. En los casos en los que las operaciones se pactan con una tasa nominal de descuento, esta debe ser proporcionada para el período de la operación.

      Tabla 2.10 Fórmulas del descuento comercial

Valor actual	Tasa de descuento	Número de períodos	Descuento acumulado
V = Cn(1 − dn)			D(0,n) = Cndn

Análisis del descuento comercial

      Como los intereses descontados siempre se calculan sobre el mismo valor nominal (o capital final), los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de descuento utilizada). Por lo tanto, los descuentos acumulados serían:

      a. Descuentos acumulados

      D(0,n) = D_(0,1) + D_(1,2) + D_(2,3) + ... + D_(n−1,n) = C_ndn

      Por lo tanto, D_(0,n) = Cn − V = Cn − (Cn − Cn × d × n) = Cn × d × n

      D(0,n) = C_n − V = C_n − (C_n − C_ndn) = C_ndn

      De manera que el descuento acumulado es igual a n veces el descuento periódico.

      b. Intensidad periódica del descuento o descuento efectivo: el descuento efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación con el valor presente aumenta en cada período:

      Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor y, en consecuencia, el resultado es cada vez mayor.

      El valor presente en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. Es una función lineal de la forma y = -ax + b válida en el intervalo comprendido entre n = 0 y n = 1 / d; corta a los ejes en los puntos (0,1) y (1 / d,0) y tiene un coeficiente angular igual a (-d), donde d representa la pendiente de la función, que es decreciente, ya que a medida que descontamos el valor nominal por un período mayor, el valor presente desciende. La función descuento se observa en la figura 2.6 y también es una función lineal, pero creciente desde n = 0 y teniendo por techo el valor nominal cuando n = 1 / d (no puede descontarse más que el capital total que dio origen a la operación).

      Figura 2.5 Valor presente con descuento comercial.

      Figura 2.6 Descuento acumulado en el descuento comercial.

Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento

En teoría, como pudo observarse en el cuadro de evolución, el descuento comercial puede llegar a hacerse igual o superior al valor del capital descontado. En el primer caso, supondría un valor presente nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor presente del documento sería negativo.⁵

El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) de la tasa de descuento:⁶ para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente igualamos a 0 (cero) el valor presente:

      Si 1 – dn = 0, despejando el número de períodos tenemos

      El descuento comercial podría ser tachado de irracional por el caso extremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso se limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta.

Acerca de la controversia entre «descuento» y «actualización»

      La noción del valor presente representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplicaciones. En algunos textos latinoamericanos al valor presente a veces se lo llama «valor actual». Por otra parte, en finanzas es común hablar de «tasa de descuento» para calcular un valor presente utilizando una tasa de interés vencida en el cálculo. La denominación tasa de descuento es una traducción de la expresión en inglés discount rate y ha generado cierta confusión cuando se habla de tasa de descuento comercial o anticipada o adelantada.

      ¿Es correcto hablar de descuento o de actualización? Si nos atenemos a la definición del verbo «actualizar» de la Real Academia Española, en su vigésima segunda edición define «actualizar» como:

      1. tr. Hacer actual algo, darle actualidad. U. t. c. prnl.

      2. tr. Poner al día.

      3. tr. Poner en acto, realizar.

      4. tr. Ling. Hacer que los elementos lingüísticos abstractos o virtuales se conviertan en concretos e individuales, constituyendo mensajes inteligibles.

      Por lo tanto, si tenemos en cuenta lo que dice la RAE en el punto 2, es más apropiado hablar de valor presente, pues en realidad actualizar significa «poner al día», que es un proceso que remite del pasado al presente, y no del futuro al presente como es el caso que tratamos.

      Preguntas de autoevaluación

      1. ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita?

      2. ¿Por qué decimos que en el régimen simple las tasas de interés son siempre nominales?

      3. ¿Cuánto tiempo tarda el descuento en anular el valor de un documento?

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos

      Se dice que dos capitales son equivalentes en una fecha dada cuando a la misma tasa, tienen igual valor presente. Este es un principio matemático de amplio uso en las finanzas y dicha equivalencia puede ser calculada tanto con el descuento comercial como con el racional.

      Vamos ahora a extender este principio para el caso del reemplazo de pagos. Cuando por alguna circunstancia un deudor