Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

haciendo un análisis un poco largo, calculando primero la tasa efectiva de descuento y finalmente su equivalente vencida. Si recordamos que Co = Cn (1 – dn), siendo n = 1, tenemos que la tasa de descuento d es igual a:

      Observe que siempre en las fórmulas donde se despeja la tasa de descuento a partir de los datos capital inicial y monto, siempre aparece el número 1 primero y luego se resta el cociente Co/Cn, ya que si a la unidad le restamos la proporción que representa el capital inicial o valor descontado sobre el valor nominal, nos da la tasa de descuento. Luego podemos calcular la tasa de interés vencida equivalente con la conocida fórmula de equivalencia:

      Pero podríamos haber hecho el cálculo de una forma más rápida, igualando factores de capitalización. Para transformar un factor de descuento en uno de capitalización, debemos expresarlo con el exponente −1. Luego podemos establecer la equivalencia:

      Y simplemente despejar la tasa de interés vencida i a partir de los datos capital inicial y monto, sin necesidad de pasar por la tasa de descuento (que, por otra parte, no era solicitada en el ejercicio).

      22.

      23. Aplicando la fórmula del «atajo» para el vencimiento medio:

      Tendremos:

      24. Expresando la igualdad para una corriente de tres pagos iguales, solo debemos despejar la incógnita X:

      Primero, sacamos factor común X:

      Finalmente, resolvemos para X:

      25. En primer lugar, el coste financiero de pagar al proveedor a 30 días y no a 90 involucra un descuento del 3,29 % efectivo por 60 días, que es equivalente a una tasa vencida para el mismo plazo del 3,40 % [0,0329/(1-0,0329)], de modo que el coste de oportunidad del período de 60 días, es del 3,40 %. Para saber cuál es la mejor alternativa de financiamiento, debemos comparar el coste financiero de cada alternativa para un período de 60 días.

      a. En este caso, la tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,20 × 60 / 365) = 3,29 %. Pero como además se exige inmovilizar el 2 % del valor descontado, el total recibido por cada 100 € es 100 – 3,29 – 2 = 94,71 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces: 100 / 94,71 – 1 = 5,58 %.

      b. La tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,18 × 60 / 365) = 2,96 %. Pero como además deben abonarse al contado comisiones (3 %), gastos administrativos (2 %) y un sellado (1 %), el total recibido por cada 100 € es 100 – 2,96 – 3 – 2 – 1 = 91,04 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces 100 / 91,04 – 1 = 9,84 %.

      c. En este caso, el coste efectivo para 60 días es 0,25 × 60 / 365 = 4,11 %.

      No conviene pagar por adelantado al proveedor, ya que el descuento que ofrece es muy bajo, incluso comparado con la alternativa más barata de financiamiento analizada, cuál es el adelanto en cuenta corriente bancaria.

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¹ La función del monto a interés simple, en una visión estrictamente matemática, no supone que se retiren los intereses del capital (si así fuera, cabe pensar que podrían esos intereses depositarse en otra institución, con lo cual se generarían nuevos intereses, transformándose en una operación de interés compuesto). Sin embargo, el contraargumento es que en la práctica es posible encontrar casos donde se retiran los intereses del capital; en ese caso, los intereses no producen nuevos intereses (por ejemplo, cuando alguien retira la renta que genera algún activo para consumirla).

² Se entiende por «capitalización de intereses» al momento en que estos se convierten en capital, que es el momento en el cual se acreditan.

³ En este ejemplo, se ha trabajado con una tasa efectiva de descuento que llamamos d (cuando el período de la operación es uno solo, la tasa nominal de descuento y la efectiva de descuento son iguales).

⁴ Cuando la capitalización es continua las tasas de interés y de descuento se igualan.

⁵ Esto solo tiene valor como curiosidad matemática. En la práctica, nadie descuenta un documento para no recibir nada, o lo que es más absurdo, tener que dar dinero para no recibir nada a cambio.

⁶ También puede decirse que el valor del documento se anula cuando la tasa es igual a la inversa del número de períodos.

⁷ El valor de la tasa de interés sí influye en el vencimiento medio con descuento racional. La explicación requiere observar los cambios en el valor de la función vencimiento medio para cambio en el valor de la tasa de interés, derivando la función.