Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

monto en el régimen simple

Período	Interés periódico	Interés acumulado	Monto
0	0	0	1
1	0.10	0.10	1.10
2	0.10	0.20	1.20
3	0.10	0.30	1.30
4	0.10	0.40	1.40
5	0.10	0.50	1.50
6	0.10	0.60	1.60
7	0.10	0.70	1.70
8	0.10	0.80	1.80
9	0.10	0.90	1.90
10	0.10	1.00	2.00

      Figura 2.1 Función interés acumulado.

      Figura 2.2 Función monto.

      La función interés I(0,n) también es lineal creciente desde cero (ya que no se devengó interés en el momento cero) y la función monto comienza en 1 (uno), que representa el capital original de la operación. La función monto tiene la misma pendiente que la función del interés acumulado, y que está representada por la tasa de interés; la diferencia es que la función monto comienza en el capital original, mientras que la función interés comienza en cero.

Análisis del rendimiento efectivo

      Para comparar cuál fue el rendimiento efectivo de un período, tenemos que comparar el interés de ese período contra el capital utilizado para obtenerlo. Suponga un capital inicial igual a 100 € que se coloca a una tasa de interés del 10 % periódico; según se observa en la tabla 2.5.

Tabla 2.5 Interés periódico y rendimiento efectivo en el régimen simple

T	Capital	Interes periódico	Monto	Rendimiento efectivo
1	100	10	110	10 %
2	110	10	120	9,09 %
3	120	10	130	8,33 %
4	130	10	140	7,69 %

      El rendimiento efectivo es calculado dividiendo el interés periódico por el capital al inicio. Así, para el primer período es el 10 %, (10 / 100) – 1, pero para el segundo se reduce al 9,09 %, pues el interés periódico sigue siendo de 10 €, pero representa un porcentaje menor de un capital de 110 €. Es claro que mientras el interés periódico se mantenga constante, representará un porcentaje menor comparado con el capital inicial. Por lo tanto, el rendimiento efectivo en el régimen simple es decreciente. Por ejemplo, para calcular el rendimiento efectivo del período 4, tendríamos que comparar el interés periódico (que es siempre constante) contra el capital al final del período 3:

      Generalizando, para obtener el rendimiento de un período cualquiera hacemos:

      De la expresión anterior se deduce que si el numerador es constante y el denominador es creciente (ya que cuando aumenta el número de períodos p también aumenta), el rendimiento periódico es decreciente.

Plazo medio

      Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ son colocados durante diferentes plazos t₁, t₂ y t₃, se denomina plazo medio n al tiempo durante el cual debe ser colocada la suma de esos capitales, a la misma tasa, de modo que el interés producido sea igual a la suma de los intereses producidos por cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

      (C₁ + C₂ + C₃) in = C₁it₁ + C₂it₂ + C₃it₃

      Dividiendo ambos miembros por i y despejando el valor de n, obtendremos:

      Esta última fórmula nos permite obtener las siguientes conclusiones:

      a. El plazo medio es independiente de la tasa de interés común.

      b. El plazo medio es la media aritmética ponderada de los plazos.

      La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para el plazo medio, que es igual a la sumatoria de los plazos ponderados:

      La fórmula del plazo medio puede ser establecida para cualquier unidad común de plazos, y el valor de la incógnita n se referirá a una unidad de tiempo común de los plazos t₁, t₂ y t₃. En particular, si C₁ = C₂ = C_3, podemos sacar el factor común en la expresión anterior y nos queda:

      Donde N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso) y observamos que, en este caso, el plazo medio será el promedio simple de los plazos dados.

      Ejemplo: tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados a la misma tasa del 10 % mensual durante 4, 5 y 6 meses, respectivamente. Calculamos ahora durante cuánto tiempo tendría que estar aplicada la suma de esos capitales, a la misma tasa, para que los intereses sean iguales a la suma de los intereses de esos capitales en los plazos dados.

Tasa media

      Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ sean colocados durante n períodos a tasas diferentes i₁, i₂ y i₃, se denomina tasa media de una operación a la que debe ser colocada la suma de esos capitales durante n períodos, para que produzcan un interés que iguale la suma de los intereses que produce cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

      (C₁ + C₂ + C₃)in = C₁i₁n + C₂i₂n + C₃i₃n

      Podemos sacar el factor común n en el segundo término y luego despejamos la tasa media:

      De la fórmula se observa que:

      a. La tasa media es independiente del plazo común al que fueron colocados los depósitos.

      b. La tasa media es la media aritmética ponderada de tasas.

      La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para la tasa media, que es igual a la sumatoria de las tasas ponderadas:

      En particular, si C₁ = C₂ = C₃, se puede sacar el factor común C_j y la fórmula de i se simplifica por la siguiente:

      En este último caso particular, la tasa media es el promedio simple de las tasas dadas. N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso).

      Ejemplo: