Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

del 10 %, 20 % y 30 %, respectivamente, durante un mes. Calculamos ahora cuál fue la tasa media de la operación:

      Preguntas de autoevaluación

      1. ¿La fórmula genérica del monto a interés simple puede usarse en cualquier caso?

      2. ¿Por qué las tasas se suman en el régimen simple en lugar de multiplicarse?

      3. ¿Cuál es la diferencia entre el interés exacto y el interés comercial?

      4. ¿Por qué en el régimen simple las tasas son proporcionales y al mismo tiempo equivalentes?

2.3 Descuento simple

      Descuento racional y tasa de interés vencida

      Cuando definimos el monto de un capital, se estableció una relación directa entre el capital inicial y el valor final del mismo, sujeto a un régimen de capitalización a una tasa de interés i por un número de unidades de tiempo que llamamos n.

      Supondremos inicialmente una operación genérica de descuento: queremos disponer hoy de una suma de dinero que tenemos que cobrar dentro de 1 año por 1 €; por su disponibilidad inmediata, nos descontarán los intereses que representan la diferencia entre el capital disponible dentro de un año y su valor presente.

      Figura 2.3 Valor presente con descuento racional.

      El capital de 0,90 representa el valor presente de la suma de dinero futura, y la diferencia entre el capital futuro de 1 € y los 0,90 que recibimos hoy representa el descuento, que se define como la compensación, o el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento dentro de n unidades de tiempo.

      El proceso de transformación de los valores futuros en valores presentes se denomina genéricamente «descuento», y a veces «actualización», y representa la contrapartida del proceso de capitalización. En el régimen simple, se distingue entre un descuento racional y un descuento comercial. Sobre la controversia acerca de si corresponde utilizar el término «descuento» o «actualización» será aclarada en una sección posterior. La diferencia entre los mismos radica en la forma en cómo se analiza la operación, siendo en el fondo, exactamente iguales. Comenzaremos describiendo el llamado descuento racional a los fines teóricos, para inmediatamente concentrarnos en las facetas del descuento comercial, por ser esta forma de calcular el descuento la más extendida en la práctica y por ser la forma en que el descuento es percibido por los agentes económicos.

El descuento racional

      Es aquel que se calcula sobre el valor presente del documento (que denominaremos V, y que es el análogo del capital inicial en el interés simple, C₀).

      En el descuento racional, los intereses se calculan sobre el capital recibido, por n períodos:

      D_r = V_rin

      El valor recibido es igual al monto del documento menos el descuento:

      V_r = C_n − D_r

      Y como C_n = V_r + D_r

      Entonces C_n = V_r + V_rin

      Si llamamos V_r al valor presente con descuento racional, tenemos:

      Observe que la fórmula del valor presente con descuento racional es exactamente igual a la fórmula del capital inicial en el interés simple.

      Ejemplo 1: calcule el valor presente de un documento de 100 €, que vence dentro de dos meses, utilizando una tasa de interés vencida del 10 % mensual:

      Ejemplo 2: calcule el descuento que sufrió el documento del ejemplo anterior.

      D_r = 83,33 × 0,10 × 2 = 16,67

      Como se observa, en el descuento racional, para calcular el descuento debe calcularse previamente el valor presente del documento.

Evolución del descuento racional

      Si observa la siguiente tabla verá cómo la función del descuento periódico es decreciente:

      Tabla 2.6 Evolución del descuento racional

Período	Valor presente	Descuento periódico
0	1	0
1	1/(1+i)	1-1/(1+i) = i/(1+i)
2	1/(1+i2)	1-1/(1+i2) = i2/(1+i2)
3	1/(1+i3)	1-1/(1+i3) = i3/(1+i3)
4	1/(1+i4)	1-1/(1+i4) = i4/(1+i4)
.	.	.
∞	0	1

Fórmulas derivadas del descuento racional

      Las fórmulas son exactamente las mismas que vimos para el monto a interés simple y sus fórmulas derivadas. Recuerde que en el descuento racional los intereses se calculan sobre el capital recibido en préstamo, de ahí el nombre de «racional».

      Tabla 2.7 Fórmulas del descuento racional

Valor actual	Tasa de interés	Número de períodos	Descuento acumulado
			D(0,n) = Vrin

El descuento comercial y la tasa «anticipada» o «adelantada»

      Cuando los intereses se liquidan o calculan a partir de un monto futuro, las tasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento. A este tipo de operatoria se la denomina «descuento comercial» o «descuento bancario», y es la más utilizada en la práctica de los negocios.

      Como el descuento se practica sobre un valor final o monto (el valor final es el valor nominal del documento, sea este un pagaré, un cheque, etc.) y no sobre el capital que realmente se presta en la operación, resulta un beneficio adicional para el prestamista, como veremos a continuación.

Ejemplo: se tiene un documento de 1 € que vence dentro de 1 mes,³ pero se decide descontarlo en una entidad financiera, para disponer de efectivo inmediatamente. El descuento es del 20 % mensual, de forma que se reciben 80 céntimos:

      Figura 2.4 Valor presente con descuento comercial.

      En el descuento comercial, los intereses se calculan sobre el valor nominal del documento, que es asimilable a un capital futuro o monto (C_n):

      D = C_ndn

      De forma tal que el valor presente del documento es igual al valor nominal menos el descuento:

      V = C_n − C_ndn

      V = C_n(1 − dn)

      En nuestro ejemplo, el valor presente recibido es:

      V =