Фундаментальная радиохимия. Николай Дмитриевич Бетенеков

то эту сумму можно заменить эквивалентным интегралом, полагая N непрерывной функцией от t (как и было принято выше).

      Число атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равно λNdt =λN_oe ^{– λt}dt. Эти атомы имеют продолжительность жизни t. Следовательно, общая продолжительность жизни всех атомов данной группы будет равна t λ N₀ e ^{– λt}dt.

      Суммарную продолжительность жизни (τ) всех N₀ атомов можно получить, проинтегрировав полученное выражение по t в пределах от 0 до ∞

      и поделив его на N₀:

      , (1.15)

      откуда следует, что τ = T_{1/e =} 1/λ .

      Таким образом, используя соотношения (1.10), (1.13) – (1.15), можно разносторонне интерпретировать физический смысл λ :

      (1.16)

      Из последнего равенства (λ = A/N) следует, что λ можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).

      Отсюда видно, что размерность величины λ – обратные секунды (с ^{– 1}). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.

      Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа λ и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.

      Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени Δt для всех ядер данного радионуклида равна величине w_Δt, которая пропорциональна только этому промежутку времени Δt, т.е. w_Δt = kΔt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – w_Δt = 1 – kΔt. Вероятность пережить некоторый больший промежуток времени t₁ = hΔt, где h – произвольное число, будет уже вероятностью сложного события (наступление h раз события, вероятность которого равна 1 – kΔt). Эта вероятность в соответствии с теоремой об умножении вероятности выразится следующим образом: w_t1 = (1 – w_Δt)^h = (1 – kΔt)^h.

      Прологарифмируем это равенство: lnw_t1 = hln(1 – kΔt).

      Пусть при постоянном значении t₁ = hΔt Δt стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kΔt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kΔt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:

      lnw_t1 = – hkΔt = – kt₁.

      Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t₁ индекс «1» не имеет значения, получим:

      w_t