Математические головоломки. Яков Перельман

правда, один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили x + 14, а затем ваш товарищ говорит: «…теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним: (x + 14) – х = 14 – в самом деле получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступайте так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля – ведь он совсем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не узнали задуманное число, фокус получился на славу!

      Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):

      В тот момент, когда у вас получилось число 12, т. е. выражение, не содержащее больше неизвестного х, вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.

      Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».

      Мнимая нелепость

      ЗАДАЧА

      Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной:

      Чему равно 84, если 8 · 8 = 54?

      Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

      Попробуйте расшифровать ее.

      РЕШЕНИЕ

      Вы догадались, вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, – иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. Число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т. е.

      «84» = 8х + 4.

      Число «54» означает 5х + 4.

      Имеем уравнение 8 · 8 = 5х + 4, т. е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.

      Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84» = 8 · 12 + 4 = 100. Значит, если 8 · 8 = «54», то «84» = 100.

      Подобным же образом решается и другая задача в этом роде:

      Чему равно 100, когда 5 · 6 = 33?

      Ответ: 81 (девятеричная система счисления).

      Уравнение думает за нас

      Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.

      Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?

      РЕШЕНИЕ

      Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение

      32 + х = 10 (5 + х).

      Решив его, получаем х = –2.

      «Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.

      Курьезы и неожиданности

      При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик малоопытного математика.