Математические головоломки. Яков Перельман

Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в

 гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю

 часть, т. е. запас, имеющийся на площади

      гектаров.

      Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:

      недельный прирост на 1 га = у,

      9-недельный прирост на 1 га = 9y,

      9-недельный прирост на 10 га = 90у.

      Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна

      10 + 90y.

      Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, —

      гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:

      Решив это уравнение, находим

      Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели:

      гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:

      откуда x = 36. Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.

      Перестановка часовых стрелок

      ЗАДАЧА

      Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего приятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу (рис. 6):

      Рис. 6

      «Возьмем, – сказал Мошковский, – положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении большая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие моменты, – например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие положения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на правильных часах?

      – Да, – ответил Эйнштейн, – это вполне подходящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: достаточно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.

      И, приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи…»

      Как же решается эта задача?

      РЕШЕНИЕ

      Будем измерять расстояния стрелок по кругу циферблата от точки, где стоит цифра 12, в 60-х долях окружности.

      Пусть одно из требуемых положений стрелок наблюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на х делений, а минутная – на у делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то х делений она прошла за

 часов. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло

 часов. Минутная стрелка прошла у делений за у минут, т. е. за

 часов. Иначе говоря, цифру 12 минутная