Математические головоломки. Яков Перельман

что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать мне небольшую льготу.

      – Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?

      – Очень любезно с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.

      Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 км в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.

      Только возвратившись к себе домой, сообразил молодой человек, что из-за льготной четверти часа ему пришлось в общем итоге пройти не вдвое, а вчетверо больше, чем доктору.

      Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

      РЕШЕНИЕ

      Обозначим расстояние между домами через х (км).

      Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е.

. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е.

, а молодой человек – остальное, т. е.

. Свою часть пути доктор прошел в

 часа, а молодой человек – в

 часа, причем мы знаем, что он был в пути на

 часа дольше, чем доктор.

      Имеем уравнение

      откуда x = 2,4 км.

      От дома молодого человека до дома доктора 2,4 км.

      Артель косцов

      Известный физик А.В. Цингер в своих воспоминаниях о Л.Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась великому писателю:

      «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

      Сколько косцов было в артели?»

      РЕШЕНИЕ

      В этом случае, кроме главного неизвестного – числа косцов, которое мы обозначим через х, – удобно ввести еще и вспомогательное, именно – размер участка, скашиваемого одним косцом в 1 день; обозначим его через у. Хотя задача и не требует его определения, оно облегчит нам нахождение главного неизвестного.

      Рис. 3

      Выразим через х и у площадь большого луга. Луг этот косили полдня х косцов; они скосили

.

      Вторую половину дня его косила только половина артели, т. е.

 косцов; они скосили

      Так как к вечеру скошен был весь луг, то площадь его равна

      Выразим теперь через х и у площадь меньшего луга. Его полдня косили

 косцов и скосили площадь

. Прибавим недокошенный участок, как раз равный у (площади, скашиваемой одним косцом в 1 рабочий день), и получим площадь меньшего луга:

      Остается перевести на язык алгебры фразу: «первый луг вдвое больше второго», – и уравнение составлено:

      Сократим