ЧУДЕСА АРИФМЕТИКИ ОТ ПЬЕРА СИМОНА ДЕ ФЕРМА. Юрий Вениаминович Красков

в конце п. 1.

      4.3. Доказательство Ферма

      Представленное здесь реконструированное доказательство ВТФ содержит неизвестные сегодняшней науке новые открытия,. Однако от этого оно ничуть не становится трудным для понимания. Скорее наоборот, именно эти открытия и позволяют решить эту проблему наиболее просто и доступно. Сам феномен недоказуемой ВТФ вообще не появился бы, если бы Французская Академия наук была создана ещё при жизни П. Ферма. Тогда он стал бы академиком и публиковал свои научные исследования, а среди его теорем во всех учебниках по арифметике была бы и вот такая самая обычная теорема:

      Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих уравнению

      aⁿ + bⁿ = cⁿ (1)

      Для доказательства этого утверждения, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:

      a+ b = c + 2m (2)

      где m натуральное число.

      Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2aⁿ=cⁿ, что очевидно невозможно. Следовательно, a<b<c и можно констатировать, что (a^n-1+b^n-1)>c^n-1, откуда (a+b)>c.

      Поскольку в (1) случаи с тремя нечётными a, b, c, а также с одним нечётным и двумя чётными невозможны, то числа a, b, c могут быть либо все чётные, либо два нечётных и одно чётное. Тогда из (a+b)>c следует формула (2), где число 2m чётное⁵⁴.

      Вначале проверим действенность метода для случая n=2, или уравнения Пифагора a²+b²=c². Здесь действует ключевая формула (2) и можно получить решение системы уравнений (1), (2), если сделать подстановку одного в другое. Чтобы её упростить, возведём в квадрат обе стороны (2), чтобы сделать числа в (1) и (2) соразмерными. Тогда (2) принимает вид:

      {a²+b²−c²}+2(c−b)(c−a)=4m² (3)

      Подставляя уравнение Пифагора в (3), получаем:

      A_iB_i=2m² (4)

      где с учетом формулы (2):

      A_i=c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m (5)

      Теперь раскладываем на простые множители число 2m², чтобы получить все варианты A_iB_i. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m²=2×m²=m×2m. В этом случае A₁=1; B₁=2m²; A₂=2; B₂=m²; A₃=m; B₃=2m. Поскольку из (5) следует a=A_i+2m; b=B_i+2m; а из (2) c=a+b−2m; то в итоге получаем:

      a₁=2m+1; b₁=2m(m+1); c₁=2m(m+1)+1

      a₂=2(m+1); b₂

      Примечания

      1

      Натурализованные

54

Ферма обнаружил формулу (2) после преобразования уравнения Пифагора в алгебраическое квадратное уравнение: a²+b²=c²=(c−δ₁)²+(c−δ₂)²

где δ₁=с−a; δ₂=c−b; Отсюда следует:

c²−2(δ₁ +δ₂)c+(δ₁²+ δ₂²)=0

Для целых решений дискриминанта этого квадратного уравнения должна быть квадратом целого числа, т.е. D=2δ₁δ₂=2(c−a)(c−b)=4m², где m – натуральное число. Следовательно, если

D=4m², то c=a+b−2m

Однако алгебраическое решение не даёт понимания сути полученной формулы. Впервые этот способ был опубликован в 2008 г. [22].