Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля. Иоанн Филопон

прямые, и требуется найти две средние пропорциональные. Пусть данные две прямые – AB и BC, причем AB не кратна BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

      Продолжим BA и BC до точек F и G, построим прямоугольник BA, проведем диагональ AC и опишем полуокружность ADEC. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы FA была равна EG.

      Утверждаю, что две прямые CG и AF, равные AB и BC, являются средними пропорциональными.

      Так как AC равна AB, то отношение AB к CG равно отношению CG к FA и FA к BC. Поскольку FA равна EG, а AC общая, то FE равна DG. Следовательно, произведение DG на GE равно произведению EF на FA.

      Но произведение DG на GE равно произведению BG на GC (как доказано для полуокружностей), а произведение EF на FA равно произведению BF на FA.

      Как доказано в 14-й теореме шестой книги «Начал», для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

      Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CA к CG. Следовательно, как CA относится к CG, так CG относится к AF и FA к BC.

      Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

      Другой способ, более механический, как говорит Париск, следуя Аполлонию Пергскому:

      Пусть даны две прямые AB и BC, причем AB вдвое больше BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

      Построим прямоугольный параллелограмм AC, проведем диагонали AC и BD, продолжим BD и BC до точек F и G. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы EF стала равна EG.

      Утверждаю, что для прямых AB и BC две средние пропорциональные – это CG и AF.

      Проведем из E прямую EH, параллельную AB. Поскольку треугольник EBC равнобедренный и EH перпендикулярна BC, то BH равна HC.

      Так как BC разделена в точке H пополам, и к ней прибавлена прямая CG, то квадрат BG·GC плюс квадрат HC равен квадрату HG.

      Добавим общий квадрат EH: тогда квадрат BG·GC плюс квадраты CH и HE равен квадратам EH и HG. Но квадраты CH и HE равны квадрату CE, а квадраты EH и HG равны квадрату EG.

      Следовательно, квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату EG.

      Аналогично, квадрат BF·FA плюс квадрат AE равен квадрату EF. Но EF равна EG, поэтому квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату BF·FA плюс квадрату AE.

      Но квадрат EC равен квадрату EA (так как они равны). Остается, что квадрат BG·GC равен квадрату BF·FA.

      Как доказано в 14-й теореме шестой книги, для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

      Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CD к CG. Следовательно, как DC относится к CG, так CG относится к AF и AF к AD.

      Но DC равна AB, а AD равна BC. Поэтому как AB относится к CG, так CG относится к AF и AF к BC.

      Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

      Как нужно умножать объем на объем?

      Пусть даны две прямые A и B, причем A вдвое больше B. Найдем две средние пропорциональные C и D так, чтобы отношение A к C было равно отношению C к D и D к B.

      Утверждаю, что квадрат A вдвое больше