Рынок облигаций. Анализ и стратегии. Фрэнк Дж. Фабоцци

изменение цены составляет –1,05 %. Если же доходность вдруг упадет с 9 % до 8,90 % (падение на 10 базисных пунктов), то аппроксимированное процентное изменение цены, согласно формуле (4.11), окажется равным +1,06 %. Из табл. 4.2 мы знаем, что реальное процентное изменение цены равно +1,07 %. Мы видим, таким образом, что при малых изменениях требуемой доходности модифицированная дюрация дает хорошую аппроксимацию процентных изменений цены.

      Допустим теперь, что изменения требуемой доходности велики: она возросла на 200 базисных пунктов и с 9 % увеличилась до 11 % (изменение доходности на +0,02). Аппроксимированное процентное изменение цены по формуле (4.11) равно:

– 10,62 × 0,02 = –0,2124, или –21,24 %.

      Насколько точна данная аппроксимация? Из табл. 4.2 видим: реальное процентное изменение цены составляет всего –18,03 %. Более того, если требуемая доходность падает на 200 базисных пунктов – с 9 % до 7 %, аппроксимированное процентное изменение цены, основанное на значении дюрации, составит +21,24 %, в то время как реальное процентное изменение будет равно +25,46 %. Модифицированная дюрация представляет процентные изменения цены, во-первых, неточно и, во-вторых, симметрично. Напомним, что выше мы писали о несимметричности взаимосвязи цена – доходность облигации при существенных изменениях доходности.

      Формула (4.11) дает возможность по-новому интерпретировать модифицированную дюрацию. Предположим, что доходность некой облигации изменилась на 100 базисных пунктов. Тогда, подставив 100 базисных пунктов (0,01) в формулу (4.11), получим:

      Модифицированная дюрация, таким образом, может быть интерпретирована как аппроксимированное процентное изменение цены при изменении доходности на 100 базисных пунктов.

      Аппроксимация долларовых изменений цены. Модифицированная дюрация является приближением процентных изменений цены. Инвесторам, однако, бывает нужно узнать волатильность цены облигации в долларах. Напомним, что долларовая волатильность цены может быть найдена по формуле (4.2). Кроме того, умножение обеих частей равенства (4.8) на P дает:

      Выражение справа принято называть долларовой дюрацией:

долларовая дюрация = = —модифицированная дюрация × Р. (4.13)

      Зная процентное изменение цены и стартовую цену, мы можем получить значение примерного изменения цены в долларах. Примерное изменение цены в долларах также может быть найдено посредством умножения обеих частей выражения (4.11) на Р:

dP = —модифицированная дюрация × Р(dy).

      Используя формулу (4.13), заменяем модифицированную дюрацию на долларовую. Получаем:

dP = —долларовая дюрация × (dy). (4.14)

      При малых изменениях требуемой доходности формула (4.14) дает неплохую оценку изменений цены. Рассмотрим, например, 25-летнюю 6 %-ную облигацию, торгующуюся по 70,3570 при доходности 9 %. Долларовая дюрация составит 747,2009. При росте требуемой доходности на 1 базисный пункт (0,0001) изменение цены для $100 номинальной стоимости равно:

dP = —$747,2009 × 0,0001 = —$0,0747.

      Из табл. 4.1 видно, что реальная цена равна 70,2824. Реальное ценовое изменение составит, соответственно, –0,0746 (70,2824