Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

Анализ нелинейных моделей

      В отличие от простой линейной модели, описывающей экспоненциальный рост, нелинейные модели, такие как дискретная логистическая, могут описывать достаточно сложную динамику поведения. Без сомнения, это стало заметным в ходе выполнения некоторые упражнений из предыдущего раздела.

      В этом разделе рассмотрим несколько конкретных типов поведения и разработаем простые инструменты для их изучения.

      Начнём с моделирования таких явлений, как переходные процессы, равновесие и стабилизация. Полезно выделить несколько аспектов, связанных с поведением динамической модели. Иногда, несмотря на первоначальную уникальность, после того как прошло много шагов, поведение модели становится шаблонным. Первые несколько шагов итерации, однако, могут не указывать на то, что подобное произойдет в долгосрочной перспективе. Например, с дискретной логистической моделью

 и большинство начальных значений

, первые несколько итераций модели производят относительно большие изменения в

 по мере дальнейшего приближения к 10. Таким образом, подобное поведение на ранней стадии называется переходным, потому что оно в конечном итоге сменяется другим поведением. Однако это не означает, что переходные процессы не вызывают интереса, поскольку реальные популяции вполне могут переживать кризисные ситуации, которые продолжают возвращать популяцию обратно на переходный этап.

      Как правило, исследователей интересует долгосрочное поведение модели. Причина этого заключается в том, что изучаемая система не должна быть разрушена раньше, чем прекратятся переходные процессы. Часто, но далеко не всегда, долгосрочное поведение не зависит от точной численности исходной популяции. В модели

, долгосрочное поведение для большинства начальных значений заключается в том, что популяция становится очень близкой к

. Заметим, что если

, то

, следовательно в дальнейшем численность популяции никогда не поменяется. Таким образом,

 является равновесием (или стационарной, фиксированной точкой) модели.

      Определение.   Равновесным значением для модели

 является значение

 такое, что

 такое, что

.

      Нахождение равновесных значений сводится к решению уравнения равновесия. Для модели

, решив уравнение

 видим, что существует ровно два равновесных значения:

 и  

.

      Вопросы для самопроверки:

      – Графически тоже можно найти равновесия, выполнив поиск пересечения кривой

 с диагональной прямой. Почему это так?

      Тем не менее, Равновесие все еще может иметь различные качественные особенности. В примере выше

 и

 являются равновесиями, но популяция, близкая к 0, имеет тенденцию отходить от 0, тогда как популяция близкая к 10 имеет тенденцию двигаться к 10. Таким образом, 0 является неустойчивым или