Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I. Денис Владимирович Соломатин

график функции

 от

 с использованием MATLAB путем ввода команды:

      x=[0:.1:12]

      y=.8*x.*(1-x/10)

      plot(x,y)

      б. Постройте график функции

 от

 путем изменения команд MATLAB из части (а).

      в. Вычислите значения

 для

 при

. Затем на графике из части (б) постройте паутину, начинающуюся с

. Можно добавить линию

 на графике, введя команды

      hold on, plot(x,y,x,x)

      Полученная паутинная диаграмма достаточно точно соответствует таблице значений?

      1.2.7. Если бы данные в таблице 1.6 о численности популяции были собраны в ходе лабораторного эксперимента, описывались бы они хотя бы приблизительно логистической моделью? Объясните почему. Если данные описываются логистической моделью, то можете ли оценить

 и

 в модели

?

      Таблица 1.6. Значения численности популяции

      0 1             2             3             4             5             6             7             8             9             10

                 1,94       3,04       4,62       6,72       9,26       11,88     14,08     15,52     16,26     16,60     16,72

      1.2.8. Предположим, что популяция моделируется уравнением

 когда

 измеряется поштучно.

      а. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но с популяцией, измеряемой в тысячах штук. Подсказка: пусть

, тогда

 и можно найти формулу для описания зависимости

 от

.

      б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.

      1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции

.

      а.

      б.

      в.

      г.

      Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.

      1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?

      1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.

      a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно

, и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве

, преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве

 в