Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf

en busca de los rendimientos de largo plazo. Se dice que a su fallecimiento, 50 años después, su millón heredado se convirtió en casi 100 millones. Debemos percatarnos de que esto puede alcanzarse con una tasa ligeramente superior al 9,5 % anual a interés compuesto, como puede verse en la figura 1.4.¹ Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo plazo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo.²

      Figura 1.4 Evolución de 1 millón al 9,6% anual compuesto.

      Hetty Green probó que las mujeres no son «financieramente» inferiores al hombre. Según cuenta la leyenda, batalló con los mejores hombres financieros y ganó varias veces. Hoy las mujeres tienen mayores oportunidades para trabajar en el área de finanzas y esto se refleja en una mayor participación de mujeres en trabajos que antes ocupaban solamente los hombres.

Diferencia entre el interés y la tasa de interés

      La tasa de interés representa el precio de la unidad de capital en la unidad de tiempo. En tal sentido, representa el precio por «alquilar» una unidad o un euro de capital. Para los cálculos matemáticos, la tasa de interés siempre es expresada en tanto por uno. Por ejemplo, para una tasa de interés del diez por ciento, sería:

      0,10 (en tanto por uno) Multiplicando 0,10 × 1 = 0,10

      En este ejemplo, la tasa de interés y el interés coinciden; pero solamente ocurrirá cuando el capital es igual a la unidad: para un capital cualquiera, por ejemplo, C = 900, entonces 0,10 × 900 = 90.

      El interés representa el valor absoluto (el valor en «metálico») que resulta de multiplicar la tasa de interés por un capital.

      Recuerde que la tasa de interés siempre expresa un valor relativo mientras que el interés representa una magnitud absoluta, en «metálico». La tasa de interés aparece expresada simbólicamente también en tanto por ciento, generalmente cuando es publicitada en las pizarras de los bancos (por ejemplo, podemos ver que los bancos publicitan las tasas de interés para los depósitos a plazo fijo como 1 % para 30 días, etc.).

Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital

      A veces se confunde el porcentaje de rendimiento con la cantidad de veces en que crece un capital o un índice de precios. La tabla 1.1 aclara la diferencia. Mientras que un incremento del 100 % es igual a 2 veces de incremento en el capital, 900 % es igual a 10 veces:

Tabla 1.1 Incremento porcentual e incremento medido en cantidad de veces

Capital al inicio	Capital al final	Incremento en porcentaje	Incremento en cantidad de veces
100	200	100 %	2
100	1000	900 %	10

      Es fácil ver que 1000 es igual a 100 diez veces; sin embargo, para calcular el porcentaje de incremento, la cuenta clásica es 1000/100 − 1, y luego multiplicamos este resultado por 100 para obtener el porcentaje de incremento. En el Capítulo 2, cuando tratemos el interés simple, se aclarará perfectamente por qué se realiza de esta forma el cálculo del incremento porcentual.

Tasas de interés e inflación

      La tasa de interés suele contener siempre tres componentes: la inflación, el interés puro y el riesgo. En esta sección analizaremos brevemente los dos primeros y en la próxima sección veremos el componente riesgo.

Cuando existe inflación, la tasa de interés pasa a ser aparente, pues si queremos medir el verdadero rendimiento, debemos calcular la tasa de interés real. Le enseñaremos a hacerlo en el Capítulo 4. Por ahora diremos que cuanto mayor sea la tasa de inflación, mayor debería ser la tasa de interés, pues si los depósitos a plazo no recibieran como mínimo la tasa de inflación, los depositantes no tendrían ningún incentivo para realizarlos, ya que la inflación disminuiría su valor.³

      Además, es justo que la tasa de interés tenga un rendimiento que recompense, además de la inflación, la espera. Cuando un individuo deposita dinero en el banco, pospone su consumo mientras el individuo que recibe ese dinero lo anticipa. Esa espera, que no es otra cosa que el «alquiler» del dinero, representa el «interés puro» o real. Cuando la tasa de interés supera a la inflación, la tasa de interés real es positiva; cuando la inflación supera a la tasa de interés, la tasa de interés real es negativa.

Tasas de interés y riesgo: un euro con riesgo vale menos que un euro sin riesgo

      Cuanto mayor es el riesgo de una inversión, mayor debe ser la recompensa por asumir dicho riesgo y, por lo tanto, mayor deberá ser la tasa de interés que rinde dicha inversión. Es natural que a las inversiones peligrosas se les exija un mayor premio a cambio para compensar el riesgo asumido.

       Regla: un euro invertido con riesgo vale menos que un euro invertido sin riesgo.

      Imagine dos letras del tesoro con vencimiento a un año. Ambas devolverán 100 € al inversor al cabo de un año. La primera corresponde a una letra emitida por el tesoro de EE. UU. y es considerada libre de riesgo. Se vende en el mercado por 97,08 €, lo cual implica un rendimiento anual del 3 %. En cambio, la segunda letra es emitida por un país emergente, y como es considerada con cierto riesgo, se vende en el mercado por 96,15 €, lo cual implica un rendimiento del 4 %. La diferencia de rendimientos (4 % – 3 % = 1 %), es lo que se conoce como el «premio por el riesgo».

Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real

      Las matemáticas financieras tienen inmediata aplicación en una gran cantidad de situaciones de la vida real. Una vez que usted aprenda matemáticas financieras, comprobará que será capaz de:

      • Calcular el rendimiento efectivo de un depósito a plazo. Este tipo de operación es muy común cuando debemos calcular el rendimiento de nuestros ahorros. Normalmente, deberá calcular la tasa efectiva de una operación de depósito, en la cual el banco le ofrece una tasa nominal anual.

      • Comparaciones de rendimientos entre activos financieros. Seguramente, usted realizará inversiones en su vida y deseará comparar sus desempeños. Aquí, la denominada «tasa equivalente» juega un rol fundamental para comparar rendimientos expresados en diferentes plazos.

      • Evaluar un proyecto de inversión. Si trabaja en finanzas, muy posiblemente le toque algún día tener que evaluar la bondad financiera de un proyecto de inversión. Para ello, necesitará conocer en detalle las técnicas del valor presente neto y la tasa interna de rentabilidad, entre otros métodos.

      • Medición del desempeño de una inversión en bonos. La inversión en bonos puede llegar a ser muy sofisticada y para realizar un análisis exhaustivo precisará contar con sólidos conocimientos de matemáticas financieras y también técnicas de evaluación de proyectos de inversión.

      • Evaluar alternativas de financiamiento y préstamos. Cuando deba financiar una inversión o analizar un préstamo para comprar su vivienda, verá que le serán muy útiles los conocimientos del capítulo sobre préstamos,