Репетитор по математике. Алгебра. М. Л. Фартушняк

(x+a) =x²-ax+a²

      (x⁵+a⁵): (x+a) =x⁴-ax³+a²x²-a³x+a⁴

      4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

      Например, x⁶+a⁶ не делится ни на x-a, ни на x+a.

      Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

      Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

      Возведение в степень n двучлена a+b.

      (a+b) ⁿ=aⁿ+k₁×a^n-1×b+k₂×a^n-2×b²+…+bⁿ (эта формула называется биномом Ньютона).

      Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

      Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

      Примеры.

      (a+b) ⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

      (a+b) ⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

      Разложение многочлена на множители.

      1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

      Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

      С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

      Примеры.

      4x²y³+8xy²z=4xy² (xy+2z)

      9a²b²—3ab²c+12abc²=3ab (3ab-bc+4c²)

      2 способ. Способ группировки.

      Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

      Примеры.

      5x³+10x²+3x+6=5x² (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x²+3)

      20x³—12y³+8xy²—30x²y=20x³—30x²y+8xy²—12y³=10x² (2x-3y) +

      4y² (2x-3y) = (2x-3y) (10x²+4y²)

      При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

      Например:

      6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

      (3a-c) (2b-9d)

      3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

      Примеры.

      9x²—1= (3x-1) (3x+1)

      4x²+4x+1= (2x+1) ²

      4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax²+bx+c=

      =a (x-x₁) (x-x₂)

      где x₁ и x₂-корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

      О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

      А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

      одним примером.

      Пример.

      2x²+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

      Сначала решается квадратное уравнение

      2x² +13x -24 = 0 и находятся его корни x₁=3/2, x₂=-8

      Потом по формуле делается разложение.

      Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

      Пример