Репетитор по математике. Алгебра. М. Л. Фартушняк

+9x²y² – 7x²y² = (6+9—7) x²y² = 8x²y².

      Как мы видим, вынесение общего множителя за скобки – операция, идентичная приведению подобных членов.

      Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.

      Пример: -10x²y×3x³y² × (-xy³) = -10×3× (-1) (x²x³x) (yy²y³) = 30x⁶y⁶.

      Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.

      Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

      Пример: 6x³y⁸z⁷: 2xy⁵z³ = 3x²y³z⁴.

      Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).

      При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.

      1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).

      Пример: 12x³y⁴: 4x³y² =3y².

      2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.

      Пример: 8x³y⁵: 2x⁵y³ = 4x^-2y² = (4y²) / (x²)

      При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.

      Пример: Возведём одночлен 2a⁴b² в четвертую степень.

      (2a⁴b²) ⁴ = 2⁴ (a⁴) ⁴ (b²) ⁴ = 16a¹⁶b⁸.

      Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.

      Сумма одночленов называется многочленом.

      Например, 4x²y +3a -7b² – многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x², 3a, -7b².

      При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

      Пример. Сложим многочлены x³ +2x²y² – 7x² + y и 3x³ – x²y² +5x² – 3y.

      Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.

      (x³+2x²y²—7x²+y) + (3x²– x²y² +5x² – 3y) = x³ +3x³ +2x²y² – x²y² – 7x² +5x²+ y – 3y = 4x³ + x²y² – 2x² – 2y.

      Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).

      Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.

      Пример. (4x²y – 7x³ +5y – 3) – (-2x²y +5x³– 3y +2) =4x²y – 7x³ +5y -3 +2x²y -5x³ +3y – 2 = 6x²y – 12x³ +8y – 5.

      Произведение многочленов.

      Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить