Репетитор по математике. Алгебра. М. Л. Фартушняк

(квадрат разности)

      3. (a-b) (a+b) =a²-b² (разность квадратов)

      4. (a+b) ³=a³+3a²b+3ab²+b³ (куб суммы)

      5. (a-b) ³=a³—3a²b+3ab²-b³ (куб разности)

      6. (a+b) (a²-ab+b²) =a³+b³ (сумма кубов)

      7. (a-b) (a²+ab+b²) =a³-b³ (разность кубов)

      Примеры: (2ma² +0.1nb²) ² = 4m²a⁴ +0.4mna²b² +0.01n²b⁴

      (5x³ – 2y³) ² = 25x⁶ – 20x³y³ +4y⁶

      (0.2a²b + c³) (0.2a²b – c³) = 0.04a⁴b² – c⁶

      (5ab² +2a³) ³ = 125a³b⁶ +150a⁵b⁴ +60a⁷b² +8a⁹

      Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.

      Деление многочленов.

      1. Деление многочлена на одночлен.

      Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.

      Схема:

      2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

      Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.

      Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.

      Например, разделим 6x³ +2x² – x +12 на 3x² – 2x +6

      Запись деления:

      1.Делим первый член делимого 6x³на первый член делителя 3x². Результат 2x – первый член частного.

      2.Умножаем полученный член на делитель 3x² – 2x +6, результат 6x³ – 4x² +12x записываем под делимым.

      3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x² – 13x +12

      4. Первый член остатка 6x² делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.

      5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x² – 4x +12 подписываем под первым остатком.

      6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.

      .

      Целая часть: 2x +2

      Остаток: – 9x

      Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

      Целая часть: 3t² – 7t +5

      Остаток: 34t – 37

      Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x^m±a^m на x±a.

      1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x^m-a^m делится на x-a

      Примеры.

      (x²-a²): (x-a) =x+a

      (x³-a³): (x-a) =x²+ax+a²

      (x⁴-a⁴): (x-a) =x³-ax²+a²x+a³

      (x⁵-a⁵): (x-a) =x⁴-ax³+a²x²+a³x+a⁴

      2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x^m-a^m при чётном