Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios. Carlos José Castillo

desconocidas

      En el caso de que las varianzas y sean desconocidas, estas varianzas pueden ser homogéneas o heterogéneas.

9.2.1 Varianzas poblacionales homogéneas

      Para este caso, la variable aleatoria tiene la siguiente distribución:

      donde es la varianza ponderada de las 2 muestras.

       Ejemplo 15

      El automóvil modelo Saux se comercializa en 2 modelos: A y B, los que al tener distintos pesos presentan un diferente rendimiento de combustible. El rendimiento tiene distribución normal con media 19.6 y 19.2 kilómetros por litro (en km/l) de combustible para los modelos A y B, respectivamente. Las varianzas poblacionales de los modelos A y B se desconocen pero se ha determinado que son homogéneas y se estimaron en 1.8² y 2.0² (km/l)², respectivamente. Se realizarán pruebas con muestras aleatorias de 37 automóviles modelo A y 34 modelo B. Determine la probabilidad de que la media muestral del rendimiento de combustible de los automóviles modelo A sea menor a la media muestral de los automóviles modelo B.

       Solución

      X₁: Rendimiento (en km/l) de combustible de los autos Saux modelo A. μ₁ = 19.6, S₁ = 1.8, n₁ = 37.

      X₂: Rendimiento (en km/l) de combustible de los autos Saux modelo B. μ₂ = 19.2, S₂ = 2.0, n₂ = 34.

      Dado que

      donde = μ₁ - μ₂ = 19.6 – 19.2 = 0.4

      Luego, la probabilidad solicitada es

9.2.2 Varianzas poblacionales heterogéneas

      En este caso la distribución de la variable aleatoria es

      

      Donde V corresponde a los grados de libertad:

      Nota. El valor de los grados de libertad (V) se redondea al entero inmediato inferior.

       Ejemplo 16

      Para llegar a un determinado lugar turístico ubicado en la provincia de Yauyos existen dos rutas. Los automóviles que van desde Lima por la ruta centro presentan un tiempo de viaje que se distribuye como una normal: μ₁ = 8.4 horas, S₁ = 0.30 h, y los automóviles que van por la ruta sur presentan un tiempo de viaje que también se distribuye como una normal: μ₂ = 8.5 h, S₂ = 0.25 h. Si se seleccionan 41 y 44 automóviles que se dirigen al mencionado lugar turístico por las rutas centro y sur, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del tiempo de viaje de los automóviles que van por la ruta centro sea mayor, en a lo más 12 minutos, en comparación con los que van por la ruta sur? Suponga varianzas poblacionales desconocidas pero heterogéneas.

       Solución

      X₁: Tiempo de viaje, en horas, de los automóviles por la ruta centro. μ₁ = 8.4, S₁ = 0.30, n₁ = 41.

      X₂: Tiempo de viaje, en horas, de los automóviles por la ruta sur. μ₂ = 8.5, S₂ = 0.25, n₂ = 44.

      Dado que

      donde = μ₁ - μ₂ = 8.4 - 8.5 = -0.1

      Luego, la probabilidad solicitada es P(0 ≤

₁ -

₂ ≤ 0.2)

9.3 Cociente de varianzas muestrales

      Si y son las varianzas muestrales asociadas a dos muestras aleatorias independientes de tamaños n₁ y n₂, seleccionadas con reemplazo de dos poblaciones normales y respectivamente, entonces la variable aleatoria

      tiene una distribución F con (n₁ - 1) y (n₂ - 1) grados de libertad.

       Ejemplo 17

      Los montos registrados en las boletas de venta en una tienda de helados presentan una desviación estándar poblacional de S/. 3.6 en su local de Santa Anita, y una desviación estándar poblacional de S/. 4.5 en su local de Santiago de Surco. Si se seleccionan muestras aleatorias de 33 y 28 clientes de los locales de Santa Anita y Santiago de Surco, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral de los montos registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita sea menor a la de los clientes de Santiago de Surco?

       Solución

      X₁: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santa Anita.

      X₂: Montos (en S/.) registrados en las boletas de venta de los clientes del local de Santiago de Surco.