Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios. Carlos José Castillo

proporción muestral de tabletas de marca en análisis.

      Luego, la probabilidad solicitada es: P(p > 0.35) = 0.1992

      Interpretación: la probabilidad de que la proporción de tabletas de dicha marca sea mayor que 0.35 es de 0.1992 aproximadamente.

      b. Dado que: , entonces, para calcular el valor de n que verifica que

      P(|p - π| ≤ 0.08) = 0.90, se tiene

      Como Z ~ N(0;1) es simétrica con respecto al origen, entonces la probabilidad de ambas colas es igual a 0.10. Véase figura 16.

      Luego:

      Interpretación: Se deben seleccionar 89 tabletas.

8.4 Distribución de la varianza muestral

      Sea x₁, x₂,…,x_n una muestra aleatoria seleccionada, con reemplazo, de una población con distribución normal: N(μ; σ²), y sea:

      Entonces, la variable tiene una distribución Ji cuadrado con (n - 1) grados de libertad.

      Propiedades: para una muestra aleatoria seleccionada de una población con distribución normal: N(μ; σ²) se tiene:

       Ejemplo 13

      Los montos de las transacciones realizadas en una agencia de barrio de una reconocida entidad bancaria, presentan una distribución normal con una desviación estándar poblacional de S/. 45.

      a. ¿Cuál será la probabilidad de que las 37 próximas transacciones presenten una desviación estándar muestral de a lo más S/. 51?

      b. Sobre la base de una muestra de 46 transacciones se ha estimado que existe una probabilidad de 0.15 de que la varianza sea de por lo menos k soles². Determine el valor de k.

       Solución

      a. Sea X: Monto (en S/.) de la transacción realizada en una agencia de barrio, y X ~ N(μ; 45²), n = 37

      Como

      Luego, la probabilidad solicitada es

      b. En este caso, se tiene:

      De acuerdo a los datos del problema se tiene: P(S² ≥ k) = 0.15

      De donde:

9. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DOS MUESTRAS

      Cuando se trata de comparar dos poblaciones de acuerdo a una característica de interés, se comparan las muestras aleatorias tomadas de ambas poblaciones.

9.1 Diferencia de medias muestrales con varianzas poblacionales conocidas

      Sean: dos variables aleatorias independientes. Si se seleccionan muestras con reemplazo de tamaño n_x y n_y, y se obtienen las distribuciones de sus medias muestrales, se tiene:

      La distribución de la diferencia de las medias muestrales está dada por:

      Donde la esperanza y varianza de esta diferencia son:

      Nota. La expresión representa a una variable aleatoria.

       Ejemplo 14

      Los ladrillos para techo producidos en las plantas A y B de la empresa Blokart presentan medias y varianzas poblacionales conocidas: μ₁ = 9.25 kg, = σ₁ = 0.08 kg, y = μ₂ = 9.30 kg y σ₂ = 0.06 kg. Se seleccionan 42 y 40 ladrillos para techo producidos en las plantas A y B, respectivamente; calcule la probabilidad de que la diferencia del peso promedio de los ladrillos obtenidos en las muestras de las plantas A y B difiera en a lo más 30 gramos de la diferencia de medias poblacionales.

       Solución

      X₁: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ₁ = 9.25, σ₁ = 0.08, n₁ = 42.

      X₂: Peso (en kg) de ladrillos para techo de la planta A. μ₂ = 9.30, σ₂ = 0.06, n₂ = 40.

      La distribución de la diferencia de medias muestrales es:

      (

₁ -

₂) ~ N(– 0.05;0.01557²)

      donde

      Luego, la probabilidad solicitada es: P(|

₁ -

₂) - (μ₁ - μ₂)|≤ 0.03); 0.03 kg, equivalente a 30 gramos.

      P(|

₁ -

₂) - (-0.05)| ≤ 0.03) = P(-0.08 ≤

₁ -

₂ ≤ -0.02) = 0.946

9.2