Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

+ q₁q₂ = 0.

      Пусть имеются прямая (x – x₀) / m = (y – y₀) / p = (z – z₀) / q и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Условие параллельности прямой и плоскости: Am + Bp + Cq = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / m = B / p = C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

      Если прямая задана параметрически x = x₀ + mt, y = y₀ + pt, z = z₀ + qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значений t, определенных (Am + Bp + Cq)t + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂):(х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁) = (z – z₁) / (z₂ – z₁). Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно прямой (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, имеет вид: m(x – x₀) + p(y – y₀) + q(z – z₀) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, имеет вид: (х – х₀) / А = (у – у₀) / В = (z – z₀) / C. Уравнение плоскости, проходящей через М₀(х₀, у₀, z₀) и (x – x₁) / m = (y – y₁) / p = (z – z₁) / q, не проходящую через М₀:

      Уравнение плоскости, проходящей через М₀ (х₀, у₀, z₀) и параллельной двум прямым:

      Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – у₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ и параллельной (x – x₂) / m₂ = (y – y₂) / р₂ = (z – z₂) / q₂ имеет вид:

      Уравнение плоскости, проходящей через (x – x₁) / m₁ = (y – y₁) / p₁ = (z – z₁) / q₁ перпендикулярно Ах + Ву + Сz + D = 0;

      7. Матрицы и действия над ними

      Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:

      или А = (a_ij), где i = 1, 2…, m; j = 1, 2…, n. Числа a_ij – называются элементами матрицы. Если m = 1, а n > 1, то матрица является матрицей–строкой. Если m > 1, а n = 1, то матрица является матрицей–столбцом. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число ее строк (или столбцов) называется порядком матрицы.

      Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и a_ij = b_ij. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю.

      Единичной матрицей называется квадратная матрица:

      Матрицей, транспонированной к матрице А размерности m х n называется матрица А^т размерности n х m, полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.

      Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

      Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности c_ij = a_ij ± b_ij. При сложении справедливы:

      А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.

      Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рa_ij.

      Справедливы свойства:

      α(βA)