Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

= 2a) (рис. 4).

      Рис. 4

      Точки F и F₁ называются фокусами эллипса, а отрезок FF₁ – фокусным расстоянием, обозначается FF₁ = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k² = 1 – ε².

      Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F₁ имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F₁M – FM| = 2a. Точки F, F₁ называются фокусами гиперболы, расстояние FF₁ = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

      Каноническое уравнение гиперболы: х² / а² + у² / (а² – с²) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b² = c² – a²).

      Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у² = 2рх.

      Рис. 5

      5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

      Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

      Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

      При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

      Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х₁, у₁, z₁) до плоскости:

      Пусть имеются две плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Угол φ между этими плоскостями:

      Условие равенства двух плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂ = D₁ / D₂. Условие параллельности плоскостей: А₁ / А₂ = В₁ / В₂ = С₁ / С₂. Условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х₁, у₁, z₁) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x₁) + В(у – y₁) + С(z – z₁) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ (х₁, у₁, z₁), М₂ (х₂, у₂, z₂), М₃ (х₃, у₃, z₃):

      Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_x + B_y + C_z + D = 0:

      Уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (х₁, у₁, z₁)