Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

      3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

      Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

      полярный угол α

      причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

      Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение

 (знак берется в зависимости от знака С).

      Рис. 2

      После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

      Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.

      Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

      При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х₀, у₀), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х₀, у – у₀ т. е. справедливо следующее х = х* + х₀, у = у* + у₀ или х* = х – х₀, у* = у – у₀ (* новые координаты точки).

      При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

      x = x* cosα – y* sinα;

      y = x* sinα + y* cosα

      или

      x* = x cosα + y sinα;

      y* = – x sinα + y cosα.

      4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

      Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

      Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х² + у² = R², если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

      (х – а)² + (у – b)² = R².

      Чтобы уравнение Ах² + Вх + Ау² + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х² и у² были равны, чтобы В² + С² – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой