Высшая математика. Шпаргалка. Аурика Луковкина

. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

      Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координат О, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

      Рис. 1

      Системы координат

      Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

      Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

      Полярная система координат состоит из полюса О и полярной оси ОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным углом φ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

      Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

      Пусть имеются две точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂). Расстояние между точками:

      Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

      Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

      2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

      1. Пусть даны три точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), А₃ (х₃, у₃), тогда условие нахождения их на одной прямой:

      либо (х₂ – х₁) (у₃ – у₁) – (х₃ – x₁) (у₂ – у₁) = 0.

      2. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

      (х₂ – х₁)(у – у₁) – (х – х₁)(у₂ – у₁) = 0 или (х – х₁) / (х₂ – х₁) = (у – у₁) / (у₂ – у₁).

      3. Пусть имеются точка М (х₁, у₁) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

      у – у₁ = а(х – х₁).

      Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0.

      Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

      у – у₁ = –(х – х₁) / а

      или

      а(у – у₁) = х₁ – х.

      Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х₁, у₁), описывается уравнением А (у – у₁) – В(х – х₁) = 0.

      4. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

      1) точки А₁, А₂ лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют одинаковые знаки;

      2) точки