Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

a valors petits de n₁. En efecte, si fem n₁ ≡ n « N i considerem el quocient

      d'on WN(n) = WN(O) λⁿ/n!. Per la condició de normalització, WN(0) = e^-λ, i obtenim així

      que és la funció de distribució de Poisson. És immediat demostrar que i utilitzant mètodes similars als emprats en les eqs. (14) i (16), respectivament, d'on . La distribució de Poisson apareix en molts problemes de Física Estadística: un gas distribuït en un determinat volum [Kittel i Kroemer, cap. 6], processos d'adsorció sobre superfícies [Kittel i Kroemer, A.C], desintegracions radioactives i emissions termoiòniques [Lands- berg, cap. 26], etc. Si considerem una desintegració radioactiva, p. ex., i prenem com a succés elemental l'emissió o no d'una partícula en un instant temporal entre t i t + dt, assignant p = γdt « 1 a l'emissió i q = γdt ~ 1 a la no-emissió, aleshores sobre un total d'intents N = t/dt» 1 distribuïts al llarg d'un temps macroscopic t, la probabilitat d'emissió de n partícules ve donada per la distribució binòmia

      que d'acord amb les eqs. (28)–(29) es pot aproximar per la de Poisson

      per a N » 1 amb λ ≡ Nγdt = γt finit. Altres problemes es poden tractar de manera semblant a l'anterior.

4. Sistemes de N espins

      Moltes de les distribucions de probabilitat que apareixen en Física Estadística són gaussianes de màxims molt pronunciats. Per il·lustrar aquest fet, considerarem un sistema de N espins independents separats espacialment, cadascun dels quals pot trobar-se en un estat ↑ o en un estat ↓ [Rosser, cap. 2; Kittel i Kroemer, cap. 1]. Per simplicitat, suposarem que les probabilitats associades a aquests estats són iguals, p = q = 1/2, si bé el cas asimètric és també força interessant [Reif (2), cap. 1]. La fig. 13 mostra esquemàticament el sistema considerat.

      Figura 13

      Evidentment, el nombre total d'estats microscòpics possibles per al sistema de N espins és gT = 2N, i la probabilitat de trobar n ≤ N dels espins en l'estat ↑ és, d'acord amb l'eq. (6),

      De les eqs. (14) i (17), , . Si N = 3, aleshores . En aquest cas les desviacions de n respecte del valor mitjà (que anomenarem «fluctuacions» entorn de l'esmentat valor mitjà) són importants. Notem que una mesura del valor absolut de les dites fluctuacions és , i del valor relatiu d'aquestes, . La situació canvia dràsticament per a un sistema macroscopic de N = 6.4 x 10²³ espins (aproximadament un mol d'espins): ara = 3.2 x 10²³, σ = 4 x 10¹¹, , i la distribució de probabilitats esdevé extremadament abrupta entorn de . En efecte, si prenem arbitràriament l'amplària de la distribució com a 2σ (vegeu la fig. 11), aleshores , la qual cosa significa que la distància al llarg de 1'abscissa des de n = 0 fins a l'amplària de la distribució 2σ. ÉS a dir,

      Per a N gran, la distribució binòmia ≈ distribució gaussiana. Hem vist que per a una distribució gaussiana, aproximadament el 68% dels valors de n cauen dins d'un interval d'amplària ±σ centrat en , xifra que s'eleva fins al 99.7% per a un interval d'amplària ±3σ. ES pot demostrar que per a una distribució gaussiana, la probabilitat d'obtindré un valor de n que es desvie del valor mitjà en més de ±100σ és de l'ordre de 10^-2174 [Rosser, cap. 2]. Com a mitjana, s'hauria de mostrejar doncs un total de 10²¹⁷⁴ estats microscòpics com el mostrat en la fig. 13 per trobar-ne un el valor de n del qual es desviarà de en més de 100σ. Podem elaborar encara més aquest argument si supo-sem, p. ex., que cada espín canvia d'estat cada 10^-12 s, o siga, 10¹² vegades per segon.¹⁰ L'estat microscopic del sistema de la fig. 13 canvia amb la condició que només un dels N espins canvie de sentit, i la resta roman en les seues posicions originals. Per tant, per a un sistema de 6.4 x 10²³ espins hi ha 6.4 x 10²³ x 10¹² = 6.4 x 10³⁵ canvis en l'estat microscopic per segon. L'edat de la Terra és d'uns 4.5 x 10⁹ anys = 1.42 x 10¹⁷ s, la qual cosa permet un total de 10⁵³ estats microscòpics distints en el sistema d'espins. Com a mitjana, per obtindré una desviació de més gran que ±100σ, s'hauria d'esperar un temps de l'ordre de 10²¹⁷⁴/10⁵³ = 10²¹²¹ edats de la Terra. Aquest és el significat de la paraula mai en Física Estadística.¹¹

5. Espai fàsic. Sistemes de molts graus de llibertat

5.1 Espai fàsic

      En Física Estadística clàssica, el nombre f de coordenades de posició independents necessàries per a definir un sistema s'anomena nombre de graus de llibertat del sistema. Així un conjunt de N partícules puntuals que segueix un moviment 3D té f= 3N, ja que són necessàries tres coordenades de posició per partícula. Per descriure un sistema de N partícules amb coordenades generalitzades qi i moments generalitzats _Pi es fa servir un espai de 2f = 3N + 3N = 6N dimensions en el cas d'un moviment 3D. Aquest espai s'anomena espai de fases del sistema o espai Г, a diferència de l'espai μ constituït per les 3 + 3 = 6 dimensions característiques del moviment 3D d'una de les N partícules del sistema. Un punt de l'espai de fases determina l'estat del sistema a través de les posicions i moments de les N partícules.

      Com hem vist en la secció 1, l'enumeració