Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

dissipada en la resistència.

      Sol.- Considera una distribució binòmia; obtindràs .

      A 6. Suposa que les errades tipogràfiques són aleatòries. Si un llibre de 600 pàgines té 600 d'aquests errors, calcula la probabilitat

      a) que no hi haja errors en una pàgina i

      b) que una pàgina continga, almenys, tres errors.

      Ajuda: Demostra que aquesta distribució binòmia es pot aproximar per la de Poisson.

      Sol.- a) 0.3679 i b) 0.0803 .

      A 7. Un sistema de N partícules no interactives d'espín 1/2 i moment magnètic (i s'introdueix en un camp B dirigit en el sentit de l'eix. La probabilitat que el moment estiga orientat paral·lelament a B és p = 0.51 i que l'orientació siga antiparal lela és q = 0.49. Troba la imantació mitjana i la relació Δ^*M/M. Considera els casos N = 100 i N = 10²⁴.

      Sol.- .

      B 5. Una molècula de gas recorre iguals distàncies mitjanes λ entre col·lisions amb la mateixa probabilitat en qualsevol direcció. Després d'un total de N desplaçaments, ¿quin és el valor mitjà dels quadrats dels desplaçaments totals de la molècula des del seu punt de partida?

      A 8. La densitat de probabilitat p(p) en l'espai de moments p d'un sistema donat és constant si p² ≤ pm2 i nul·la en un altre cas. Troba els valors mitjans

      Sol.- .

      A 9. Una partícula té la mateixa probabilitat d'estar en un punt d'una: a) circumferència i b) esfera. Triant en cada cas un eix que passe pel centre, anomenem 0 l'angle que forma el segment que uneix la partícula amb l'esmentat eix. ¿Quina és la probabilitat que aquest angle estiga comprès entre θ i θ + dθ?

      Sol.- a) dθ/2π, b) sinθdθ/2 .

      B 6. La velocitat v dels cotxes en una carretera ve donada per la distribució

      w(v) = A v exp (-v/v₀) (0 ≤ v < ∞)

      on A i v₀ són constants.

      a) Determina A en termes de v₀ .

      b) Una unitat de radar pot diferenciar només velocitats que diferesquen en quantitats petites δv. ¿Al voltant de quin valor és més probable trobar la velocitat d'un cotxe particular?

      c) ¿Quina és la probabilitat que la unitat de radar trobe de fet un cotxe en la dita regió?

      d) ¿Quina és la velocitat mitjana dels cotxes?

      e) Admet que el nombre d'accidents que pot tindré un cotxe en un mes és proporcional a la seua velocitat. Anomenem-lo Bv, per exemple, sent-hi B una constant. ¿Quin és el nombre mitjà mensual d'accidents en l'esmentada carretera, suposant que la fan servir N cotxes?

      A 10. Dibuixa en l'espai fàsic adequat la trajectòria d'un punt que represente una pilota que cau lliurement a terra des d'una altura h , si el xoc és: a) elàstic, i b) inelàstic.

      Sol.- à) Es tracta de paràboles en pz, b) Coincideix amb a), tret que ara les paràboles acaben degenerant en un punt per la dissipació d'energia.

      A 11. Descriu les corbes de l'espai fàsic (z, pz) corresponents al moviment en una dimensió d'una partícula en el si d'un camp gravitatori uniforme. Representa en l'esmentat espai fàsic les trajectòries de dues partícules abans i després de sofrir una col·lisió elàstica en un punt z = zc.

      Sol.- Es tracta de paràboles en pz. La col·lisió elàstica suposa «saltar» a una altra paràbola pròxima.

      B 7. Un oscil·lador lineal amortit està descrit per l'equació

      sent-hi ω » γ. Determina i dibuixa la seua trajectòria fàsica. Troba la variació temporal de l'espai fàsic.

      A 12. Determina el nombre total de microestats i macroestats possibles per a un sistema fictici compost per 4 partícules distingibles a, b, c i d de nivells d'energia 0, ε, 2ε i 3ε quan l'energia total del sistema és 2ε. ¿Com es modifica el nombre de microestats si el nivell 0 està 2 vegades degenerat i el nivell e tres vegades degenerat?

      Sol.- 2 macroestats i 10 microestats. El nombre total de microestats és ara 248.

      1. És possible, això no obstant, seguir l'evolució temporal d'un conjunt reduït de N partícules (p. ex., N = 10²-10³), i obtindré en cada instant informació macroscòpica d'aquest a partir de la resolució de les equacions de moviment microscòpiques. Aquest és el punt de vista de la Dinàmica Molecular, un dels desenvolupaments moderns de la Física Estadística [Heermann, cap. 3; Cuadros et al., Revista Española de Física 7 (1993) 19]

      2 Analitzarem detalladament els conceptes de partícula indistingible i distingible al llarg dels temes següents.

      3 Una disposició particular amb N = 3 i n = 4 seria • • | | • | , que indica que la primera caixa conté 2 objectes, la tercera 1 objecte i la segona i la quarta, cap objecte. Les parets primera (1) i darrera (5) no s'han representat.

      4 El problema 1D es pot generalitzar a 2D, 3D, etc. En 2D, és habitual considerar camins aleatoris en direccions perpendiculars, la qual cosa dóna lloc al denominat «borratxo ortogonal» [Lim, problema 2155] de gran aplicació en Física de Polímers [Gupta, cap. 8].

      5 Aquest factor es pot entendre fàcilment si pensem que, encara que el nombre de formes diferents d'efectuar N passos és N!, aquest nombre es redueix a si n¡ són indistin- giblement d'un primer tipus i n2 d'un segon tipus.

      6 La raó del fet que es desenvolupe lnW_N (i no WN) és que el logaritme és una funció de variació amb n¡ molt més lenta que WN, de manera que el desenvolupament en sèrie de potències de lnWN convergeix molt més ràpid que el de WN [Reif, cap. 1].

      7 El terme d'ordre k > 2 en el desenvolupament de l'eq. (19) és proporcional a [de la Rubia i Brey, cap. 1], de manera que l'eq. (22) constitueix una bona aproximació en tant que N siga gran i p, q no siguen excessivament petits. (Si p o q són molt petits, aleshores la distribució binòmia tendeix a la de Poisson, com veurem després.)

      8 En un problema de difusió d'un àtom en un sòlid, p. ex., I ~ 10^-10 m = 1Â (espaciat de la xarxa) però les mesures a escala macroscòpica involucren escales L ~ 10^-6 m = 1 um o majors.

      9 En general, podem fer servir el canvi de variable t = (x - µ)/σ per obtindré la funció error