Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

d'efectuar un desenvolupament⁶de In WN(n₁) al voltant de en l'eq. (6). Per efectuar aquest desenvolupament, considerarem n j com un nombre real, admetent que quan N és molt gran podem substituir un gran nombre de punts WN(n₁) corresponents als valors enters de n₁ per una funció contínua que passe per tots els punts. Escrivim aleshores

      amb

      i

      on hem fet ús de l'aproximació de Stirling de l'eq. (4) per avaluar els logaritmes. No analitzarem la convergència del desenvolupament efectuat en l'eq. (19) detalladament⁷ [de la Rubia i Brey, cap. 1]. Admetrem que podem negligir els termes d'ordre superior al segon i escriure

      Ara bé, si substituint en WN , la distribució de probabilitats de l'eq. (22) no estaria normalitzada a causa de les aproximacions realitzades. Per procedir a normalitzar-la, considerarem que tant WN com n₁ es poden tractar com a funcions pràcticament contínues quan N pren valors grans, de manera que la condició de normalització és

      on hem estès la integral des de -∞ fins a +∞ perquè la contribució de 1'integrand és negligible quan suficientment gran com perquè WN estiga lluny del valor corresponent al seu màxim. La integral de l'eq. (23) es pot reduir a la forma general (vegeu la taula 4)

Taula 4

      Quan la integral s'estén des de -∞ fins a +∞ el seu valor és igual al doble del valor tabulai si h es parell, i zero si h és imparell. En general, I(h) = [(h – l)/(2a²)] I(h – 2) [de la Rubia i Brey, cap. 1; Reif, A.2–4], En el nostre cas, s'obté de l'eq. (23) i la taula 4 que la ctant= 1/(2πNpq)^1/2 i, per tant,

      d'acord amb les eqs. (14) i (17). L'eq. (25) constitueix la denominada distribució de Gauss o gaussiana i coincideix amb la distribució binòmia quan N→ ∞ per a aquells valors en què totes dues són apreciablement distintes de zero. Tanmateix, observem que la distribució de l'eq. (25) està definida (encara que és pràcticament nul·la) per a |n₁| < N i és a més simètrica respecte a , la qual cosa no és el cas de la distribució binòmia si p ≠ q. No obstant l'anterior, el raonament que ha portat a l'eq. (25) és de naturalesa relativament general, per la qual cosa les distribucions gaussianes apareixen sovint en estadística quan es tracta amb nombres grans, i presenten l'avantatge respecte a les binòmies de ser molt més senzilles des del punt de vista pràctic.

      Podem tornar ara al cas de la partícula de moviment 1D tractat en la secció anterior i preguntar-nos per la probabilitat de trobar la partícula en una posició x entre x i x + dx, sent dx «microscòpicament gran» (dx » /) però suficientement petit com perquè es puga aplicar el càlcul diferencial.⁸ El pas de la variable discreta m = n_l – n₂ = 2n₁ – N a la variable contínua x es pot fer per mitjà de la relació (vegeu la fig. 10) w(x)dx = WN(m) dx/2l, ja que δx = 21 en canviar m dues unitats quan n₁ varia en una unitat. De l'eq. (25) reescrita per a m resulta immediatament

      on x = ml, per al valor mitjà i la dispersió, d'acord amb la notació habitual en estadística matemàtica. Es pot provar que la distribució gaussiana de l'eq. (26) (també anomenada distribució normal) té les següents propietats: (i) està normalitzada a la unitat, (ii) compleix que (iii) verifica que . Per comprovar-ho, només cal efectuar el canvi de variable y ≡ x - μ i avaluar les integrals resultants amb ajuda de la taula 4 [de la Rubia i Brey, cap. 1].

      La forma típica d'una distribució de Gauss és la representada en la fig. 11. Es pot demostrar⁸ directament de l'eq. (26) que l'àrea compresa entre les ordenades μ - σ i μ + σ i l'eix d'abscisses és 0.683 [Reif, A.5]. Aquesta àrea arriba a ser de 0.997 per al cas de l'interval [μ - 3σ, μ + 3σ], molt propera ja a l'àrea total corresponent a l'interval entre -∞ i +∞ que és 1 per la condició de normalització. La distribució esdevé per tant més aguda com menor és a. En el límit σ → 0, w(x) tendeix a la funció delta de Dirac [Reif, A. 7; de la Rubia i Brey, cap. 1],

      tal com es mostra en la fig. 12.

      Figura 11

      Figura 12

      Al llarg d'aquesta secció hem restringit el tractament a una funció de distribució amb una sola variable aleatòria. La descripció estadística d'una situació en la qual intervinga més d'una variable requereix només generalitzacions directes de les funcions de distribució de probabilitats corresponents [Reif, cap. 1], tal com veurem durant el curs.

3.4 Distribució de Poisson

      Quan la probabilitat p és petita però N és molt gran de manera que Np ≡ λ és finit, es pot